Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1803

1. Дана функция  f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: косинус 2x, знаменатель: синус x конец дроби .

а) Решите уравнение  f левая круглая скобка x правая круглая скобка =1.

б) Решите неравенство  f левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше или равно 0 на отрезке  левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

в) Сравните числа  f левая круглая скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 11 конец дроби правая круглая скобка и 1.

г) Найдите множество значений функции  f левая круглая скобка x правая круглая скобка .

Спрятать решение

Решение.

а) Так как  косинус 2x=1 минус 2 синус в квадрате x, надо решить уравнение  дробь: числитель: 1 минус 2 синус в квадрате x, знаменатель: синус x конец дроби =1. Обозначим t= синус x и, решая уравнение 2t в квадрате плюс t минус 1=0, получим t= минус 1 или t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . Теперь решим уравнения  синус x= минус 1 и  синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби :

 совокупность выражений синус x= минус 1, синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,x= левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .

б) Найдем корни числителя и знаменателя из отрезка  левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка  — это числа  дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби . Нанесем их на ось и воспользуемся методом интервалов (см. рис.). Получим:  Пи меньше x меньше или равно дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,  x = дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .

в) Достаточно сравнить числа 1 минус 2 синус в квадрате дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 11 конец дроби и  синус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 11 конец дроби (очевидно, что  синус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 11 конец дроби больше 0 ). Но  синус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 11 конец дроби больше синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби , т. к.  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби меньше дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 11 конец дроби меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , поэтому

 синус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 11 конец дроби минус левая круглая скобка 1 минус 2 синус в квадрате дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 11 конец дроби правая круглая скобка =2 синус в квадрате дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 11 конец дроби плюс синус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 11 конец дроби минус 1= левая круглая скобка синус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 11 конец дроби минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 11 конец дроби плюс 1 правая круглая скобка меньше 0.

Значит,  синус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 11 конец дроби меньше 1 минус 2 синус в квадрате дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 11 конец дроби , тогда 1 меньше f левая круглая скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 11 конец дроби правая круглая скобка .

 

г) Заметим, что \lim_x\overrightarrow плюс 0f левая круглая скобка x правая круглая скобка = плюс бесконечность , f левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка =0. Поэтому, очевидно, что множество значений непрерывной функции f на промежутке  левая круглая скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка содержит все числа из луча  левая квадратная скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка . Функция f нечетная как частное четной и нечетной функции, а потому множество значений функции f — все вещественные числа.

 

Ответ: а)  левая фигурная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k; левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k :k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б)  левая круглая скобка Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая фигурная скобка ; в)  f левая круглая скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 11 конец дроби правая круглая скобка меньше 1; г)  R .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1825

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1996 год, вариант 1
? Классификатор: Вычисления и преобразования в тригонометрии, Исследование функций, Сравнение чисел, Тригонометрические неравенства, Тригонометрические уравнения
?
Сложность: 9 из 10