Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1803
i

1.  Дана функ­ция  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус 2x, зна­ме­на­тель: синус x конец дроби .

а)  Ре­ши­те урав­не­ние  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =1.

б)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

в)  Срав­ни­те числа  f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 11 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка и 1.

г)  Най­ди­те мно­же­ство зна­че­ний функ­ции  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Так как  ко­си­нус 2x=1 минус 2 синус в квад­ра­те x, надо ре­шить урав­не­ние  дробь: чис­ли­тель: 1 минус 2 синус в квад­ра­те x, зна­ме­на­тель: синус x конец дроби =1. Обо­зна­чим t= синус x и, решая урав­не­ние 2t в квад­ра­те плюс t минус 1=0, по­лу­чим t= минус 1 или t= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Те­перь решим урав­не­ния  синус x= минус 1 и  синус x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби :

 со­во­куп­ность вы­ра­же­ний синус x= минус 1, синус x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,x= левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс Пи k, конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z .

б)  Най­дем корни чис­ли­те­ля и зна­ме­на­те­ля из от­рез­ка  левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка  — это числа  дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; Пи ; дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . На­не­сем их на ось и вос­поль­зу­ем­ся ме­то­дом ин­тер­ва­лов (см. рис.). По­лу­чим:  Пи мень­ше x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,  x = дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

в)  До­ста­точ­но срав­нить числа 1 минус 2 синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 11 конец дроби и  синус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 11 конец дроби (оче­вид­но, что  синус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 11 конец дроби боль­ше 0 ). Но  синус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 11 конец дроби боль­ше синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , т. к.  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 11 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , по­это­му

 синус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 11 конец дроби минус левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2 синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 11 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =2 синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 11 конец дроби плюс синус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 11 конец дроби минус 1= левая круг­лая скоб­ка синус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 11 конец дроби минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 синус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 11 конец дроби плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0.

Зна­чит,  синус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 11 конец дроби мень­ше 1 минус 2 синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 11 конец дроби , тогда 1 мень­ше f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 11 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

г)  За­ме­тим, что \lim_x\overrightarrow плюс 0f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = плюс бес­ко­неч­ность , f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =0. По­это­му, оче­вид­но, что мно­же­ство зна­че­ний не­пре­рыв­ной функ­ции f на про­ме­жут­ке  левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка со­дер­жит все числа из луча  левая квад­рат­ная скоб­ка 0; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка . Функ­ция f не­чет­ная как част­ное чет­ной и не­чет­ной функ­ции, а по­то­му мно­же­ство зна­че­ний функ­ции f  — все ве­ще­ствен­ные числа.

 

Ответ: а)  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k; левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс Пи k :k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б)  левая круг­лая скоб­ка Пи ; дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; в)  f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 11 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 1; г)  R .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1825

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 1996 год, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Вы­чис­ле­ния и пре­об­ра­зо­ва­ния в три­го­но­мет­рии, Ис­сле­до­ва­ние функ­ций, Срав­не­ние чисел, Три­го­но­мет­ри­че­ские не­ра­вен­ства, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
?
Сложность: 9 из 10