Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1705

1. Дана функция f(x)= дробь: числитель: корень из (3) плюс 2 косинус x, знаменатель: 2 косинус x минус корень из (3) конец дроби .

а) Решите уравнение: f(x)= минус 1.

б) Найдите все решения неравенства f(x) больше или равно 0 из отрезка  левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

в) Докажите, что f(x)=\ctg левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка умножить на \ctg левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби минус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .

г) Найдите множество значений функции f на отрезке  левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

а) Уравнение можно записать в виде:

 дробь: числитель: 2 косинус x плюс корень из (3) , знаменатель: 2 косинус x минус корень из (3) конец дроби = минус 1 равносильно 2 косинус x плюс корень из (3) = минус 2 косинус x плюс корень из (3) равносильно 4 косинус x=0 равносильно косинус x=0 равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z .

Ясно, что при таких x знаменатель в изначальном уравнении не равен нулю, поэтому все такие x действительно корни.

б)  Обозначим временно  косинус x=t, тогда получим неравенство  дробь: числитель: корень из (3) плюс 2t, знаменатель: 2t минус корень из (3) конец дроби больше или равно 0, решениями которого будут t больше дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби и t меньше или равно минус дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби . Заметим, что на промежутке  левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка функция  косинус x убывает и принимает значение  минус дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби в точке x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби , на промежутке  левая квадратная скобка Пи ; 2 Пи правая квадратная скобка функция  косинус x возрастает и принимает значение  минус дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби в точке x= дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби , значение  дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби в точке x= дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби , на промежутке  левая квадратная скобка 2 Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка функция  косинус x убывает и принимает значение  дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби в точке x= дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .

Отсюда получаем ответ на неравенство x принадлежит левая квадратная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка .

в) Имеем:

\ctg ( дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби ) умножить на \ctg ( дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби минус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби )= дробь: числитель: косинус ( дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби ) косинус ( дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби минус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби ), знаменатель: синус ( дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби ) синус ( дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби минус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби ) конец дроби =
= дробь: числитель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ( косинус ( дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби минус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби ) плюс косинус ( дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби )), знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ( минус косинус ( дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби минус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби ) плюс косинус ( дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби )) конец дроби =
= дробь: числитель: косинус ( дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ) плюс косинус x, знаменатель: минус косинус ( дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ) плюс косинус x конец дроби = дробь: числитель: дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби плюс косинус x, знаменатель: минус дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби плюс косинус x конец дроби = дробь: числитель: корень из (x) плюс 2 косинус x, знаменатель: минус корень из (3) плюс 2 косинус x конец дроби =f(x).

г) Заметим, что

f(x)= дробь: числитель: 2 косинус x плюс корень из (3) , знаменатель: 2 косинус x минус корень из (3) конец дроби =1 плюс дробь: числитель: 2 корень из (3) , знаменатель: 2 косинус x минус корень из (3) конец дроби .

При x принадлежит левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка функция  косинус x принимает все значения на отрезке [ минус 1; 0], поэтому 2 косинус x минус корень из (3) принимает все значения на [ минус 2 минус корень из (3) ; минус корень из (3) ], значит, функция  дробь: числитель: 2 корень из (3) , знаменатель: 2 косинус x минус корень из (3) конец дроби принимает все значения на

 левая квадратная скобка дробь: числитель: 2 корень из (3) , знаменатель: минус корень из (3) конец дроби ; дробь: числитель: 2 корень из (3) , знаменатель: минус 2 минус корень из (3) конец дроби правая квадратная скобка = левая квадратная скобка минус 2; дробь: числитель: 2 корень из (3) ( минус 2 плюс корень из (3) ), знаменатель: ( минус 2 плюс корень из (3) )( минус 2 минус корень из (3) ) конец дроби правая квадратная скобка = левая квадратная скобка минус 2; дробь: числитель: 6 минус 4 корень из (3) , знаменатель: 4 минус 3 конец дроби правая квадратная скобка =[ минус 2; 6 минус 4 корень из (3) ].

Наконец, 1 плюс дробь: числитель: 2 корень из (3) , знаменатель: 2 косинус x минус корень из (3) конец дроби принимает все значения на [ минус 1;7 минус 4 корень из (3) ].

 

Ответ: а) \left\ дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z \, б)  левая квадратная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка , г) [ минус 1;7 минус 4 корень из (3) ].

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1727

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1992 год, вариант 1
? Классификатор: Вычисления и преобразования в тригонометрии, Иррациональные неравенства, Иррациональные уравнения и их системы, Исследование функций
?
Сложность: 9 из 10