PDF-версии: 
1. Дана функция 
а) Решите уравнение 
б) Найдите наименьшее значение функции y.
в) Решите неравенство 
г) Сколько на графике функции y пар точек, симметричных друг другу относительно начала координат?
Решение. Преобразуем уравнение к виду 
Обозначим 
тогда получаем:
Значит, 
(второй множитель не имеет корней). Тогда 
б) Аналогично, обозначим 
и будем искать наименьшее значение функции 
при 
Производная этой функции равна 
что отрицательно при 
и положительно при 
Значит, функция убывает при 
и возрастает при 
а ее наименьшее значение достигается при 
(то есть при 
и равно 
в) Преобразуем неравенство:
г) Допустим точка, симметричная 
(то есть 
)
и 
Тогда
откуда, умножая на 
получим,
Обозначая 
получим уравнение
Уравнение 
не имеет корней. Уравнение 
имеет корни 
Эти числа обратны друг другу и положительны, поэтому они определяют два значения x, противоположных друг другу — 
Значит, такая пара точек ровно одна.
Ответ: а) 1; б) 16; 
выполняется при всех x из множества 
в зависимости от a.
и запишем неравенство в виде 
или 
Второй множитель всегда положителен, поскольку дискриминант трехчлена 
отрицателен. Поэтому неравенство равносильно 
то есть 
или 
или 
У многочлена в левой части есть корень 
поэтому он раскладывается на множители, один из которых 
или 
откуда 
или 
верно при 
поскольку при 
значения t заполняют луч 
Разделим неравенство на 
получим 
при 
Поскольку функция 
достаточно чтобы это неравенство выполнялось при 
Тогда 
то есть 
причем каждому его корню соответствует ровно один корень исходного уравнения. Исследуем функцию 
Возьмем ее производную: 
или 
и отрицательно при 
Значит, 
возрастает на 
и на 
и убывает на 
Далее, 
и 
тогда 
и 
и 
при 
три решения, при 
или 
два решения, при прочих a одно решение.
г) при 
Решите уравнение 
Решите неравенство 
что 
при которых для любого натурального числа n уравнение 
имеет решение.
тогда
не подходит, поскольку для него 
Для второго корня все определено.
Сразу отметим, что 
где 
и 
Первое неравенство дает 
тогда последнее дает 
откуда 
и тогда 
поэтому многочлен раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его 
и 
положительны при 
поэтому они не оказывают влияния на знак выражения и на них можно сократить 
будут 
поэтому множество решений неравенства — отрезок 
Ясно, что 
Следовательно, учитывая неравенство 
сводится к 
при условии 
то есть 
или 
откуда 
то есть 
Другие условия для определенности 
писать не надо, поскольку в силу уравнения 
поэтому обе чаcти одновременно положительны и одновременно не равны 1. Отметим, что если бы это было не так, то условие 
не требовалось бы, зато следовало бы написать 
Значит, 
Это уравнение задает параболу с вершиной при 
и 
с которой надо взять точки, получающиеся при 
на ОДЗ сводится к 
) к 
Рассмотрим функцию 
Тогда 
откуда 
Поскольку также 
В таком случае 
при 
— отсюда будет следовать отсутствие решений. Тогда
дает 
поэтому функция определена на отрезке 
за исключением точки 
(при таком x получим 
что невозможно). При этом 
причем это рассуждение работает при всех натуральных n.
Подставим такое x. Допустим, 
и 
итого 
т. е. 
Поскольку нас интересует лишь положительное a, остался случай 
Попробуем при таком a решить изначальное уравнение при 
Заметим, что 
тогда
входят (либо не входят) в область определения функции f одновременно 
уравнение 
имеет ровно одно решение на 
имеет три решения.
и 
были положительны и 
то есть чтобы 
Ясно, что если x таково, то и 
Далее, при всех x, при которых функция определена, имеем 
тогда 
и нужно доказать, что
):
то 
или 
Если 
то 
или 
поэтому после той же замены получаем 
По условию 
тогда 
можно поделить на 
Итого 
Очевидно, при 
это выражение положительно, поэтому других корней на 
не будет.
Обозначим теперь 
откуда 
Заметим, что тогда 
и каждому положительному значению x соответствует единственное значение y, поэтому количество решений не меняется от этой замены. Уравнение превращается в такое
принимает три раза. Исследуем ее на монотонность. Возьмем производную:
то есть на промежутках 
и 
и убывает на промежутках 
и 
При этом 
и 
и 
затем 
затем 
затем 
Поэтому три раза принимаются значения из множества 
при всех 
Докажите, что 
тогда 
а при x > 2 имеем 
поэтому функция определена при 
Более того, обе части уравнения неотрицательны. Возведем его в квадрат
или 
тогда 
или 
Первое невозможно (мы уже доказали, что при 
это выражение не меньше 
Второе дает x > 2, которое мы уже угадали.
Значит, область определения этого неравенства определяется условиями 
и 
Первое неравенство после домножения на 
даст 
т. е. 
или 
При всех таких x второе неравенство выполнено. Также заметим, что 
Домножим это неравенство на знаменатели (они положительны) и решим его:
поэтому многочлен в левой части раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его 
Корнями второго множителя будут 
Используя метод интервалов, получим 
Для того, чтобы функция была определена, нужно 
Преобразуем уравнение
решений нет. при прочих a это уравнение сводится к 
и нужно еще, 
Решим это неравенство:
и выразим все через b и d. Решим:
тогда 
причем отрезок проходится в обратную сторону. Далее, 
и неравенство запишется в виде
Тогда площадь под графиком не больше, чем наибольшее значение функции, умноженное на длину промежутка интегрирования и нужная оценка будет доказана
при неотрицательных x и y (это сводится к 
), поэтому достаточно будет доказать, что
при остальных a решений нет.
Решите уравнение 
Решите неравенство 
не имеет решений.
Тогда 
т. е. 
и уравнение принимает вид
Тогда 
получим
тогда 
и неравенство примет вид
впрочем, на самом деле 
Тогда
не забыв при этом исключить из будущего ответа 
тогда
на него можно умножить. Тогда 
но 
то есть 
отсюда 
или 
— монотонно возрастающая функция, принимающая значения на луче 
при 
можно исследовать на монотонность функцию 
Ее монотонность равносильна монотонности 
Возьмем производную этой функции. Она должна быть знакопостоянна на луче 
то 
производная отрицательна, функция убывает. Если 
то 
— квадратный трехчлен с положительным старшим коэффициентом, поэтому он положителен при больших t. Для его положительности на всем луче нужно, чтобы он был либо положителен в точке 
(если она лежит на луче), либо неотрицателен в точке 
на луче не лежит. При 
реализуется первый случай, поскольку 
Подставим 
тогда 
реализуется второй случай. Подставим 
(иначе обнуляется знаменатель) получим уравнение
получаем 
и 
то его дискриминант равен 
а произведение корней по теореме Виета равно 
значит, один из корней будет положительным, причем он не может быть равен 1 (при 
получим 
что верно только при 
а им мы и так уже не занимаемся). Итак, у этого уравнения корень будет.
поэтому если корни есть, то положительные среди них будут. Остается единственная возможность — сделать дискриминант отрицательным. Итак, вопрос свелся к следующему — при каких отрицательных a найдется отрицательное b, для которого 
Значит, при 
вершина параболы 
находится правее оси ординат, наименьшее значение на отрицательной полуоси он принимает при 
поэтому при таких a дискриминант всегда положителен. Наконец при 
подставим 
итого
имеет три решения.
и 
а при этих условиях ее можно преобразовать
поэтому многочлен в левой части раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его
или 
тогда 
Выделим его
при всех t (его дискриминант отрицателен), оно не влияет на знак. Знаменатель всегда положителен (кроме случая, когда 
тогда дробь не определена). Значит, 
то есть 
отсюда 
имеем 
т. е. 
и еще обозначим 
Получим уравнение 
Выделим его:
либо 
или 
У этого уравнения должно быть два корня. Ясно что 
не является его корнем (поскольку 
), а 
будет его корнем только при 
Это b не должно попасть в ответ. При прочих b необходимо и достаточно, чтобы это уравнение имело два корня, то есть чтобы его дискриминант был положителен. Получаем условие 
тогда 
и получаем:
а при больших t 
то в силу непрерывности есть корень на интервале 
и корень на интервале 
Итак, корней не менее двух. Докажем теперь, что корней не больше двух. При 
получим:
производная:
получим:
производная:
получим:
б) 
— корень уравнения 
Решите неравенство 
имеет единственное решение.
то есть 
или 
отсюда 
При этом a получаем 
откуда 
Преобразуем уравнение:
но только 
лежит в ОДЗ уравнения, поскольку 
должно быть положительно.
и 
что возможно лишь при 
Ясно, что при 
условия 
окончательно получаем 
и преобразуем его при условии 
производная примет вид 
и отрицательно при 
поэтому 
возрастает при 
и при 
и убывает при 
При этом 
Значит, на промежутках монотонности, указанных выше, функция принимает значения из промежутков 
и 
Поэтому ровно одно решение будет при 
— именно такие значения принимаются ровно один раз.
откуда 
и 
Докажем, что 
при всех 
Для 
Возьмем производную от 
получим:
и отрицательно при 
Значит, 
— точка максимума и остается проверить неравенство только в ней. Найдем:
или 
Докажем, что даже для вещественных положительных чисел, а не только для натуральных, это неравенство верно. Обозначим 
Рассмотрим производную функции в левой части
он равен 
а его производная, равная 
поэтому и функция 
возрастает. Осталось убедиться, что ее предел при 
равен 1, тогда неравенство 
будет выполнено при всех 
и 
б) 
в) 
имеет единственное решение.
Решите уравнение 
Найдите с точность до 
положительный корень уравнения 
получим 
Корнями уравнения 
будут 
поэтому решение неравенства — промежуток 
тогда 
Ясно, что 
поэтому на самом деле 
отсюда 
Тем самым вопрос свелся к такому — какие значения функция 
принимает на луче 
ровно один раз?
и убывает при 
На промежутке 
она принимает все значения из промежутка 
по одному разу, на промежутке 
— все значения из промежутка 
по одному разу. Значит, нам подходит 
и еще 
и возведем его в квадрат, запомнив что 
то есть 
тогда 
или 
Заметим, что при 
и 
возрастают, поэтому возрастает и их сумма. Следовательно, это уравнение не может иметь больше одного корня. Нетрудно проверить, что 
подходит.
Заметим, что при 
получим 
функция 
убывает, поскольку ее производная:
Тогда 
В самом деле:
тогда 
или 
Это верно. Доказательство этого утверждения является частью доказательства корректности определения числа e, в этом доказательстве в частности устанавливается, 
б) 
в) −1; г) 6.
касается графика функции f?
и 
Получаем
и 
(второе условие выражает тот факт, то у прямой и графика точка касания является общей). Из первого уравнения 
тогда из второго 
то есть 
поэтому 
и 
Итого, при 
абсцисса точки касания 
Докажем это. Исследуем функцию 
определенную при 
Поскольку 
функция 
возрастает на (−1; 0] и убывает на 
Значит, 
что равносильно 
Обозначим 
и 
тогда каждому x соответствует ровно одно значение 
где 
тогда 
Рассмотрим функцию 
и возьмем ее производную:
и отрицательно при 
поэтому 
убывает на 
и возрастает на 
При этом 
Значит, функция 
и два раза — все большие него значения. Вспоминая о том, что 
получаем ответ — при 
одно решение, при 
два решения, нет решений при 
Но кроме того, как уже было доказано в пункте а), при положительных t выполнено неравенство 
поэтому
в) 
два — при 
не имеет решений при 
то 
Докажите, что 
или 
решением которого является отрезок 
поэтому 
то 
(см. решение предыдущего пункта), поэтому из точек множества 
ближайшей к началу координат является точка P(−2; −2). Квадрат её расстояния до точки O равен 8, следовательно, при c < 8 данная система решений не имеет. Пусть c > 8. Множество 
которая определена и непрерывна на луче 
Значит, непрерывна и функция 
значение которой при x = −2 меньше c. Поскольку эта функция стремится к бесконечности при 
то уравнение 
разрешимо.
в виде 
Рассмотрим точки 
и 
(см. рис.).
и 
где n — натуральное число, n ⩾ 2. Докажите, что 
тогда неравенство примет вид 
Очевидно при 
имеем 
и 
поэтому 
поэтому 
не реализуется ни при каком x. Осталось решить неравенство 
Учитывая, что 
оно сводится к 
поэтому 
т. е. 
При таких t выражение 
получается целым. Осталось найти подходящие x. Если 
то 
то 
и запишем уравнение в виде 
поэтому при 
у уравнения нет корней.
у этого уравнения есть корни, причем они положительны (у них и сумма и произведение равны 
), значит, больший из них не меньше чем 
Докажем теперь, что функция 
(где 
—
) имеет решение, поэтому исходное уравнение 
тоже имеет корни.
поэтому 
а кроме того 
принимает значения, меньшие 2 и значения, сколь угодно большие. Значит, она принимает все значения из промежутка 
Итого: 
Нарисовав графики функций y = x и 
видим, что достаточно доказать, что 
если x < 1 (производная разности данных выражений положительна, а в нуле их значения совпадают). Поэтому 
Заметим также, что, поскольку 
при x ⩾ 2 (производная этого выражения положительна, и при x = 2 выражение также положительно, что проверяется непосредственно), то 
при данных n. Имеем: 
