Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2145

Даны функции f(x)= логарифм по основанию x (x плюс 1) и g(x)= дробь: числитель: 1, знаменатель: f левая круглая скобка \tfrac1x правая круглая скобка конец дроби минус 1.

а) Решите неравенство f(x) + g(x) > 0.

б) Найдите все значения x такие, что f(x) и g(x) одновременно являются целыми числами.

в) Найдите все положительные числа d такие, что уравнение f(x) − g(x) = d не имеет решения.

г) Пусть xn — такое число, что f(x_n)= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: n конец дроби , где n — натуральное число, n ⩾ 2. Докажите, что x_n меньше дробь: числитель: 2\ln n, знаменатель: n конец дроби .

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем сначала выражение для функции g(x):

g(x)= дробь: числитель: 1, знаменатель: f( дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби ) конец дроби минус 1= дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию ( дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби ) ( дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби плюс 1) конец дроби минус 1= дробь: числитель: 1, знаменатель: минус логарифм по основанию (x) ( дробь: числитель: 1 плюс x, знаменатель: x конец дроби ) конец дроби минус 1=

= дробь: числитель: 1, знаменатель: минус логарифм по основанию (x) (1 плюс x) плюс 1 конец дроби минус 1= дробь: числитель: логарифм по основанию (x) (1 плюс x), знаменатель: минус логарифм по основанию (x) (1 плюс x) плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: f(x), знаменатель: 1 минус f(x) конец дроби

при x больше 0, x не равно 1.

а) Обозначим f(x)=t, тогда неравенство примет вид

t плюс дробь: числитель: t, знаменатель: 1 минус t конец дроби больше 0 равносильно дробь: числитель: 2t минус t в квадрате , знаменатель: 1 минус t конец дроби больше 0 равносильно дробь: числитель: t(t минус 2), знаменатель: t минус 1 конец дроби больше 0.

C помощью метода интервалов получим t принадлежит (0; 1)\cup(2; принадлежит fty). Очевидно при x принадлежит (0; 1) имеем x меньше 1 и x плюс 1 больше 1, поэтому

t=f(x)= логарифм по основанию (x) (1 плюс x) меньше 0,

такие x не подходят. При x больше 1 имеем x плюс 1 больше x больше 1, поэтому

t=f(x)= логарифм по основанию (x) (1 плюс x) больше 1.

Значит случай t принадлежит (0; 1) не реализуется ни при каком x. Осталось решить неравенство  логарифм по основанию (x) (1 плюс x) больше 2. Учитывая, что x больше 1, оно сводится к

1 плюс x больше x в квадрате равносильно x в квадрате минус x минус 1 меньше 0 равносильно x принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 1 минус корень из (5) , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 1 плюс корень из (5) , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .

Учитывая ограничение x больше 1, окончательно получаем x принадлежит левая круглая скобка 1; дробь: числитель: 1 плюс корень из (5) , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .

б) Пусть f(x)=t, тогда

g(x)= дробь: числитель: t, знаменатель: 1 минус t конец дроби = минус 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 минус t конец дроби ,

значит, 1 делится на 1 минус t, поэтому 1 минус t=\pm 1, т. е. t=0 или t=2. При таких t выражение  дробь: числитель: t, знаменатель: 1 минус t конец дроби получается целым. Осталось найти подходящие x. Если f(x)=0, то

 логарифм по основанию x (x плюс 1)=0 равносильно x плюс 1=1 равносильно x=0.

Но такое x не входит в ОДЗ функции. Если f(x)=2, то

 логарифм по основанию x (x плюс 1)=2 равносильно x в квадрате =x плюс 1 равносильно x в квадрате минус x минус 1=0 равносильно x= дробь: числитель: 1\pm корень из (5) , знаменатель: 2 конец дроби .

В ОДЗ функции входит только x= дробь: числитель: 1 плюс корень из (5) , знаменатель: 2 конец дроби .

в) Обозначим f(x)=t и запишем уравнение в виде

t минус дробь: числитель: t, знаменатель: 1 минус t конец дроби =d равносильно t минус t в квадрате минус t=(1 минус t)d равносильно t в квадрате минус td плюс d=0

при условии t не равно 1, впрочем, нетрудно проверить, что t=1 не является корнем этого уравнения ни при каком d. Дискриминант этого уравнения равен d в квадрате минус 4d=d(d минус 4), поэтому при d принадлежит (0; 4) у уравнения нет корней.

При d больше или равно 4 у этого уравнения есть корни, причем они положительны (у них и сумма и произведение равны d больше 0), значит, больший из них не меньше чем  дробь: числитель: d, знаменатель: 2 конец дроби больше или равно дробь: числитель: 4, знаменатель: 2 конец дроби =2. Докажем теперь, что функция f(x) принимает все значения, не меньшие двух — это будет означать, что уравнение f(x)=t_1 (где t_1 — больший корень уравнения t в квадрате минус td плюс d=0) имеет решение, поэтому исходное уравнение f(x) минус g(x)=d тоже имеет корни.

Заметим, что f(x)= дробь: числитель: \ln(x плюс 1), знаменатель: \ln x конец дроби , поэтому \lim\limits_xarrow 1 плюс 0 f(x)= плюс принадлежит fty, а кроме того

f(2)= дробь: числитель: \ln 3, знаменатель: \ln 2 конец дроби меньше дробь: числитель: \ln 4, знаменатель: \ln 2 конец дроби =2.

Итак, эта функция, непрерывная при x принадлежит (1; 2], принимает значения, меньшие 2 и значения, сколь угодно большие. Значит, она принимает все значения из промежутка [2; плюс принадлежит fty). Итого: d принадлежит (0; 4).

г) Увидим xn — это решение уравнения x= дробь: числитель: 1, знаменатель: (x плюс 1) в степени n конец дроби (x больше 0). Нарисовав графики функций y = x и y= дробь: числитель: 1, знаменатель: (x плюс 1) в степени n конец дроби , видим, что достаточно доказать, что

 дробь: числитель: 2\ln n, знаменатель: n конец дроби больше дробь: числитель: 1, знаменатель: левая круглая скобка \tfrac2\ln nn плюс 1 правая круглая скобка в степени n конец дроби равносильно левая круглая скобка дробь: числитель: 2\ln n, знаменатель: n конец дроби плюс 1 правая круглая скобка в степени n больше дробь: числитель: n, знаменатель: 2\ln n конец дроби .

Заметим теперь, что \ln(1 плюс x) больше или равно дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби , если x < 1 (производная разности данных выражений положительна, а в нуле их значения совпадают). Поэтому (1 плюс x) в степени n больше или равно e в степени (\tfracxn) 2. Заметим также, что, поскольку x минус 2\ln x больше 0 при x ⩾ 2 (производная этого выражения положительна, и при x = 2 выражение также положительно, что проверяется непосредственно), то  дробь: числитель: 2\ln n, знаменатель: n конец дроби меньше 1 при данных n. Имеем:

 левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: 2\ln n, знаменатель: n конец дроби правая круглая скобка в степени n больше или равно e в степени (\tfracn умножить на 2\ln n) 2n=n больше дробь: числитель: n, знаменатель: 2\ln n конец дроби .

 

Ответ: а)  левая круглая скобка 1; дробь: числитель: 1 плюс корень из (5) , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ; б) x= дробь: числитель: 1 плюс корень из (5) , знаменатель: 2 конец дроби ; в)  (0; 4).


Задание парного варианта: 2140

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 2002 год, вариант 2
? Классификатор: Доказательство тождеств, неравенств, Задачи с параметром, Исследование функций, Логарифмические уравнения и системы
?
Сложность: 11 из 10