Преобразуем сначала выражение для функции

при

а) Обозначим тогда неравенство примет вид

C помощью метода интервалов получим Очевидно при имеем и поэтому

такие x не подходят. При имеем поэтому

Значит случай не реализуется ни при каком x. Осталось решить неравенство Учитывая, что оно сводится к

Учитывая ограничение окончательно получаем

б) Пусть тогда

значит, 1 делится на поэтому т. е. или При таких t выражение получается целым. Осталось найти подходящие x. Если то

Но такое x не входит в ОДЗ функции. Если то

В ОДЗ функции входит только

в) Обозначим и запишем уравнение в виде

при условии , впрочем, нетрудно проверить, что не является корнем этого уравнения ни при каком d. Дискриминант этого уравнения равен поэтому при у уравнения нет корней.

При у этого уравнения есть корни, причем они положительны (у них и сумма и произведение равны ), значит, больший из них не меньше чем Докажем теперь, что функция принимает все значения, не меньшие двух — это будет означать, что уравнение (где  — больший корень уравнения ) имеет решение, поэтому исходное уравнение тоже имеет корни.

Заметим, что поэтому а кроме того

Итак, эта функция, непрерывная при принимает значения, меньшие 2 и значения, сколь угодно большие. Значит, она принимает все значения из промежутка Итого:

г) Увидим x_n — это решение уравнения Нарисовав графики функций y = x и видим, что достаточно доказать, что

Заметим теперь, что если x < 1 (производная разности данных выражений положительна, а в нуле их значения совпадают). Поэтому Заметим также, что, поскольку при x ⩾ 2 (производная этого выражения положительна, и при x = 2 выражение также положительно, что проверяется непосредственно), то при данных n. Имеем:

Ответ: а) б) в)