Дана функция 
а) Докажите, что числа x и 
входят (либо не входят) в область определения функции f одновременно 
б) Решите уравнение 
в) Докажите, что для любого натурального числа 
уравнение 
имеет ровно одно решение на
г) Найдите все такие a, при которых уравнение 
имеет три решения.
а) Для того, чтобы функция была определена, необходимо и достаточно, чтобы x, 
и 
были положительны и 
то есть чтобы 
Ясно, что если x таково, то и таково и наоборот, поскольку 
Далее, при всех x, при которых функция определена, имеем
Обозначим 
тогда 
и нужно доказать, что
что верно.
б) Сделав ту же замену, получим уравнение (учитывая, что 
):
Разберем два случая. Если 
то
Откуда 
или 
Если 
то
Откуда 
или 
в) Заметим, что 
поэтому после той же замены получаем 
По условию 
тогда
тогда t = 0 (ему соответствует x = 1) подходит. При прочих t можно сократить на t, получим
поскольку 
можно поделить на 
Итого 
Очевидно, при 
это выражение положительно, поэтому других корней на 
не будет.
г) Сделав аналогичную замену и учитывая, что
получим уравнение 
Обозначим теперь 
откуда 
Заметим, что тогда 
и каждому положительному значению x соответствует единственное значение y, поэтому количество решений не меняется от этой замены. Уравнение превращается в такое
Теперь нужно узнать, какие значения функция 
принимает три раза. Исследуем ее на монотонность. Возьмем производную:
Значит, эта функция возрастает при 
то есть на промежутках 
и 
и убывает на промежутках 
и 
При этом
и 
Кроме того,
и 
Значит, функция на своих промежутках монотонности принимает по одному разу все значения из промежутков 
затем 
затем 
затем 
Поэтому три раза принимаются значения из множества 
Ответ: 
Задание парного варианта: 2014