Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2120

Дана функция f(x)=ax минус 3 в степени x .

а) Решите неравенство f(3x) больше или равно f(2x) плюс f(x).

б) Найдите все a, при которых уравнение f(2x)=f(x) плюс f(x плюс 1) имеет единственное решение.

в) Пусть a= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби . Решите уравнение  корень из ( минус f(x)) = минус x.

г) Пусть a=1. Найдите с точность до 0,01 положительный корень уравнения f(x)= минус 729.

Спрятать решение

Решение.

а) Запишем неравенство в виде

3ax минус 3 в степени (3x) больше или равно 2a x минус 3 в степени (2x) плюс ax минус 3 в степени x равносильно 3 в степени (2x) плюс 3 в степени x больше или равно 3 в степени (3x) равносильно 3 в степени x плюс 1 больше или равно 3 в степени (2x) .

Обозначая 3 в степени x =t, получим t плюс 1 больше или равно t в квадрате равносильно t в квадрате минус t минус 1 меньше или равно 0. Корнями уравнения t в квадрате минус t минус 1=0 будут t= дробь: числитель: 1\pm корень из (5) , знаменатель: 2 конец дроби , поэтому решение неравенства — промежуток t принадлежит левая квадратная скобка дробь: числитель: 1 минус корень из (5) , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 1 плюс корень из (5) , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка , тогда 3 в степени x принадлежит левая квадратная скобка дробь: числитель: 1 минус корень из (5) , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 1 плюс корень из (5) , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка . Ясно, что  дробь: числитель: 1 минус корень из (5) , знаменатель: 2 конец дроби меньше 0, поэтому на самом деле 3 в степени x принадлежит левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1 плюс корень из (5) , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка , отсюда x принадлежит левая круглая скобка минус принадлежит fty; логарифм по основанию 3 дробь: числитель: 1 плюс корень из (5) , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

б) Запишем уравнение в виде

2ax минус 3 в степени (2x) =ax минус 3 в степени x плюс a(x плюс 1) минус 3 в степени (x плюс 1) равносильно 2ax минус 3 в степени (2x) =ax минус 3 в степени x плюс ax плюс a минус 3 в степени (x) умножить на 3 в степени 1 равносильно

 равносильно минус 3 в степени (2x) = минус 3 в степени x плюс a минус 3 в степени (x) умножить на 3 равносильно минус 3 в степени (2x) = минус 4 умножить на 3 в степени x плюс a равносильно a=4 умножить на 3 в степени x минус 3 в степени (2x) .

Обозначим 3 в степени x =t, тогда каждому корню данного уравнения соответствует ровно один положительный корень уравнения a=4t минус t в квадрате . Тем самым вопрос свелся к такому — какие значения функция 4t минус t в квадрате принимает на луче (0; плюс принадлежит fty) ровно один раз?

Эта функция — квадратный трехчлен с отрицательным старшим коэффициентом, значит, она возрастает при t меньше или равно дробь: числитель: минус 4, знаменатель: 2 умножить на ( минус 1) конец дроби =2 и убывает при t больше 2. На промежутке (0; 2] она принимает все значения из промежутка (0; 4] по одному разу, на промежутке (2; плюс принадлежит fty) — все значения из промежутка ( минус принадлежит fty; 4) по одному разу. Значит, нам подходит a=4 и еще a меньше или равно 0.

в) Запишем уравнение в виде  корень из ( минус левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби x минус 3 в степени (x) правая круглая скобка ) = минус x и возведем его в квадрат, запомнив что  минус x больше или равно 0, то есть x меньше или равно 0, тогда  минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби x плюс 3 в степени (x) =x в квадрате или  3 в степени (x) минус x в квадрате минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби x=0. Заметим, что при x меньше 0 функции 3 в степени (x) ,  минус x в квадрате и  дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби x возрастают, поэтому возрастает и их сумма. Следовательно, это уравнение не может иметь больше одного корня. Нетрудно проверить, что x=—1 подходит.

г) Запишем уравнение в виде x минус 3 в степени x = минус 729. Заметим, что при x принадлежит [0; 1] получим

x минус 3 в степени x больше или равно 0 минус 3 в степени 1 = минус 3 больше минус 729,

поэтому на этом участке корней нет. При x больше 1 функция f(x)=x минус 3 в степени x убывает, поскольку ее производная:

1 минус 3 в степени x \ln 3 меньше 1 минус 3 в степени 1 \ln 3 меньше 1 минус 3 умножить на 1= минус 2 меньше 0.

Значит, это уравнение имеет не более одного положительного корня. Пусть x=6. Тогда

f(6)=6 минус 3 в степени 6 =6 минус 729= минус 723

довольно близко к правильному ответу. Докажем, что f(6,02) меньше минус 729. В самом деле:

f(6,02)=6,02 минус 3 в степени (6,02) =6,02 минус 3 в степени 6 умножить на 3 в степени (0,02) меньше 7 минус 729 умножить на корень из [ 50]3.

Докажем, что  корень из [ 50]3 больше 1,02, тогда

7 минус 729 умножить на корень из [ 50]3 меньше 7 минус 729 умножить на 1,02=7 минус 729 минус 729 умножить на 0,02= минус 729 плюс 7 минус

 минус 729 умножить на 0,02 меньше минус 729 плюс 7 минус 700 умножить на 0,01= минус 729.

Итак, осталось доказать, что  корень из [ 50]3 больше 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 50 конец дроби или 3 больше левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 50 конец дроби правая круглая скобка в степени (50) . Это верно. Доказательство этого утверждения является частью доказательства корректности определения числа e, в этом доказательстве в частности устанавливается, что  левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: n конец дроби правая круглая скобка в степени n меньше 3.

 

Ответ: а)  левая круглая скобка минус принадлежит fty; логарифм по основанию 3 дробь: числитель: 1 плюс корень из 5 , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка ; б) a принадлежит ( минус принадлежит fty; 0]\cup\4\; в) −1; г) 6.


Задание парного варианта: 2115

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1999 год, вариант 2
? Классификатор: Показательные неравенства, Показательные уравнения и их системы, Уравнения с параметром
?
Сложность: 11 из 10