1. Дана функция 
а) Изобразите на плоскости множество точек, координаты (x, y) которых удовлетворяют системе
б) Докажите, что если 
то 
в) Найдите все значения c, при которых система
имеет решение.
г) Пусть S площадь части первого квадранта, состоящей из точек, координаты (x, y) которых удовлетворяют неравенству 
Докажите, что 
а) Отрезок прямой x + y = 1 с концами в точках A(2; −1) и B(−1; 2). После подстановки y = 1 − x и замены t = 2x получим неравенство 
или 
решением которого является отрезок 
б) Имеем: 
поэтому 
в) Ясно, что если 
то 
(см. решение предыдущего пункта), поэтому из точек множества 
ближайшей к началу координат является точка P(−2; −2). Квадрат её расстояния до точки O равен 8, следовательно, при c < 8 данная система решений не имеет. Пусть c > 8. Множество является графиком функции 
которая определена и непрерывна на луче 
Значит, непрерывна и функция 
значение которой при x = −2 меньше c. Поскольку эта функция стремится к бесконечности при 
то уравнение 
разрешимо.
г) Перепишем неравенство 
в виде 
Рассмотрим точки 
и
лежащие на графике 
(см. рис.).
Поскольку эта функция выпукла вверх (что легко проверить), то четырёхугольник OACB содержится в данном множестве. Значит
Ответ: а) см. рис.; в) c ⩾ 8.
Задание парного варианта: 1740