Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2026

Дана функция f(x)= логарифм по основанию 3 в кубе x минус 5 логарифм по основанию 3 в квадрате x плюс 8 логарифм по основанию 3 x.

а) Решите неравенство f(x) меньше 0.

б) Решите уравнение f(x)=4.

в) Выясните, при каких значениях a неравенство f(x) больше a логарифм по основанию 3 x выполняется при всех x из множества [27; плюс принадлежит fty).

г) Выясните, сколько корней имеет уравнение f(x)=a в зависимости от a.

Спрятать решение

Решение.

а) Обозначим  логарифм по основанию 3 x=t и запишем неравенство в виде t в кубе минус 5t в квадрате плюс 8t меньше 0, или t(t в квадрате минус 5t плюс 8) меньше 0. Второй множитель всегда положителен, поскольку дискриминант трехчлена t в квадрате минус 5t плюс 8 отрицателен. Поэтому неравенство равносильно t меньше 0, т. е.  логарифм по основанию 3 x меньше 0, или 0 меньше x меньше 1.

б) Аналогично обозначим  логарифм по основанию 3 x=t и запишем уравнение в виде t в кубе минус 5t в квадрате плюс 8t=4 или t в кубе минус 5t в квадрате плюс 8t минус 4=0. У многочлена в левой части есть корень t=1, поэтому он раскладывается на множители, один из которых равен t минус 1. Выделим его:

(t минус 1)(t в квадрате минус 4t плюс 4)=0 равносильно (t минус 1)(t минус 2) в квадрате =0 равносильно совокупность выражений t=1,t=2. конец совокупности .

Тогда  логарифм по основанию 3 x=1 или  логарифм по основанию 3 x=2, откуда x=3 или x=9.

в) Выполнив аналогичную замену, получим, что неравенство t в кубе минус 5t в квадрате плюс 8t больше a верно при t принадлежит [3; плюс принадлежит fty), поскольку при x принадлежит [27; плюс принадлежит fty) значения t заполняют луч [3; плюс принадлежит fty) Разделим неравенство на t больше 0, получим t в квадрате минус 5t плюс 8 больше a при t больше или равно 3. Поскольку функция t в квадрате минус 5t плюс 8 — квадратный трехчлен, возрастающий при t больше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби , достаточно чтобы это неравенство выполнялось при t=3. Тогда 9 минус 15 плюс 8 больше a, т. е. a меньше 2.

г) Выполнив аналогичную замену, получим уравнение t в кубе минус 5t в квадрате плюс 8t=at, причем каждому его корню соответствует ровно один корень исходного уравнения. Исследуем функцию g(t)=t в кубе минус 5t в квадрате плюс 8t. Возьмем ее производную:

g'(t)=3t в квадрате минус 10t плюс 8=(t минус 2)(3t минус 4),

что положительно при t больше 2 или t меньше дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби и отрицательно при t принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ; 2 правая круглая скобка . Значит, g(t) возрастает на  левая круглая скобка минус принадлежит fty; дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка и на [2; принадлежит fty) и убывает на  левая квадратная скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ; 2 правая квадратная скобка . Далее, \lim\limits_xarrow минус принадлежит fty g(x)= минус принадлежит fty и \lim\limits_xarrow плюс принадлежит fty g(x)= плюс принадлежит fty, тогда g(2)=8 минус 20 плюс 16=4 и

f левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: 64, знаменатель: 27 конец дроби минус дробь: числитель: 80, знаменатель: 9 конец дроби плюс дробь: числитель: 32, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 64 минус 240 плюс 288, знаменатель: 27 конец дроби = дробь: числитель: 112, знаменатель: 27 конец дроби .

То есть на промежутках  левая круглая скобка минус принадлежит fty; дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка ,  левая квадратная скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ; 2 правая квадратная скобка , [2; принадлежит fty) функция принимает, соответственно, все значения из промежутков  левая круглая скобка минус принадлежит fty; дробь: числитель: 112, знаменатель: 27 конец дроби правая квадратная скобка ,  левая квадратная скобка 4; дробь: числитель: 112, знаменатель: 27 конец дроби правая квадратная скобка и [4; принадлежит fty).

Теперь ясно, сколько раз функция принимает каждое конкретное значение a и получить количество решений уравнения f(x)=a: при a принадлежит левая круглая скобка 4; дробь: числитель: 112, знаменатель: 27 конец дроби правая круглая скобка три решения, при a=4 или a= дробь: числитель: 112, знаменатель: 27 конец дроби два решения, при прочих a одно решение.

 

Ответ: а) x принадлежит (0; 1); б) \ 3; 9\; в) при a меньше 2; г) при a принадлежит левая круглая скобка 4; дробь: числитель: 112, знаменатель: 27 конец дроби правая круглая скобка три решения, при a=4 или a= дробь: числитель: 112, знаменатель: 27 конец дроби два решения, при прочих a одно решение.


Задание парного варианта: 2004

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1991 год, вариант 2
? Классификатор: Логарифмические неравенства, Логарифмические уравнения и системы
?
Сложность: 11 из 10