Дана функция 
а) Решите неравенство 
б) Решите уравнение 
в) Выясните, при каких значениях a неравенство 
выполняется при всех x из множества 
г) Выясните, сколько корней имеет уравнение 
в зависимости от a.
а) Обозначим 
и запишем неравенство в виде 
или 
Второй множитель всегда положителен, поскольку дискриминант трехчлена 
отрицателен. Поэтому неравенство равносильно 
то есть 
или 
б) Аналогично обозначим и запишем уравнение в виде 
или 
У многочлена в левой части есть корень 
поэтому он раскладывается на множители, один из которых 
Тогда 
или 
откуда 
или 
в) Выполнив аналогичную замену, получим, что неравенство 
верно при 
поскольку при 
значения t заполняют луч 
Разделим неравенство на 
получим 
при 
Поскольку функция —
достаточно чтобы это неравенство выполнялось при 
Тогда 
то есть 
г) Выполнив аналогичную замену, получим уравнение 
причем каждому его корню соответствует ровно один корень исходного уравнения. Исследуем функцию 
Возьмем ее производную:
что положительно при 
или 
и отрицательно при 
Значит, 
возрастает на 
и на 
и убывает на 
Далее, 
и 
тогда 
и
то есть на промежутках 
функция принимает, соответственно, все значения из 
и 
Теперь ясно, сколько раз функция принимает каждое конкретное значение a и получить количество решений уравнения 
при 
три решения, при 
или 
два решения, при прочих a одно решение.
Ответ: 
г) при три решения, при или два решения, при прочих a одно решение.
Задание парного варианта: 2004