Дана функция 
а) Решите уравнение 
б) Решите неравенство 
в) Решите уравнение 
при всех 
г) Числа a, b, c образуют возрастающую арифметическую прогрессию 
Докажите, что
а) Подставим в это уравнение выражение для 
тогда
Найдем для начала ОДЗ уравнения. Ясно, что
Столь же ясно, что при x = 2 уравнение выполнено (поскольку 
а при x > 2 имеем
и 
поэтому функция определена при 
Более того, обе части уравнения неотрицательны. Возведем его в квадрат
Откуда 
или 
тогда 
или 
Первое невозможно (мы уже доказали, что при 
это выражение не меньше 
Второе дает x > 2, которое мы уже угадали.
б) Заметим, что 
определена при 
Значит, область определения этого неравенства определяется условиями 
и 
Первое неравенство после домножения на 
даст 
т. е. 
или 
При всех таких x второе неравенство выполнено. Также заметим, что на всей области определения монотонно возрастает (как композиция возрастающих функций). Поэтому неравенство из условия равносильно тому, что 
Домножим это неравенство на знаменатели (они положительны) и решим его:
У многочлена в левой части есть корень 
поэтому многочлен в левой части раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его 
Корнями второго множителя будут 
Используя метод интервалов, получим
Учитывая ОДЗ, окончательно получаем 
в) Из монотонности получим, что 
Для того, чтобы функция была определена, нужно 
Преобразуем уравнение
Заметим, что при 
решений нет. при прочих a это уравнение сводится к 
и нужно еще, 
Решим это неравенство:
получим 
г) Обозначим 
и выразим все через b и d. Решим:
Сделаем во втором интеграле замену 
тогда 
причем отрезок проходится в обратную сторону. Далее, 
и неравенство запишется в виде
Теперь обозначим переменную интегрирования во втором слагаемом снова за x
Слева написан интеграл от функции по отрезку длиной t. Докажем, что все значения этой функции на данном отрезке не больше чем 
Тогда площадь под графиком не больше, чем наибольшее значение функции, умноженное на длину промежутка интегрирования и нужная оценка будет доказана
Возведем в квадрат (обе части неотрицательны):
Как известно, 
при неотрицательных x и y (это сводится к 
), поэтому достаточно будет доказать, что
что верно. Неравенство доказано.
Ответ: 
при остальных a решений нет.
Задание парного варианта: 2031