PDF-версии: 
3Б. Даны комплексные числа 
и 
а) Изобразите на чертеже множество M всех таких комплексных чисел z, что 
б) Изобразите на чертеже множество K всех таких комплексных чисел z, что 
в) Найдите все числа, содержащиеся и в K , и в M.
г) Среди чисел, принадлежащих множеству K, найдите число с наименьшим модулем.
Решение. а) По условию, расстояние между z и
должно быть не больше единицы, поэтому ответом будет круг с центром в i и радиусом 1 (см. рисунок).
б) По условию, z равноудалена от i и 
поэтому лежит на серединном перпендикуляре к соединяющему их отрезку (см. рисунок).
в) Пусть 
тогда первое условие дает 
получаем 
Второе условие дает 
получаем
Подставляя это в первое уравнение, получим:
Итак, 
(окружность и прямая касаются. Это неудивительно, поскольку 
а радиус окружности вдвое меньше).
г) Для точек на прямой 
получим:
Ясно, что наименьшее значение этого выражения будет при таком x, при котором наименьшим будет подкоренное выражение, то есть при 
Отсюда 
и искомая точка 
(Это основание перпендикуляра, опущенного на прямую из начала координат).
Ответ: а) см. рис., б) см. рис., в) 
г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
г) г) 
и 
равны.
Найдите наименьшее значение 
то либо 
либо 
то есть 
а значит 
Ответ: 
или 
то 
Получаем, что 
— уравнение прямой.
то 
и радиусом 
откуда и 
Тогда
и для точки 
получаем 
б) см. рис. 1; в) см. рис. 2; г) 1.
корнями уравнения 
для 
Поэтому искомое множество — окружность с центром в 
и радиусом 
(cм. левый рисунок).
Это уравнение прямой 
(см. правый рисунок).
— сумма расстояний от точки z до точек a и 
равного 
и это значение достигается в точке пересечения данного отрезка и прямой из предыдущего пункта.
— корень уравнения; в) см. рис. справа; 
Запишите в алгебраической форме все числа a такие, что 
. Изобразите на чертеже множество всех чисел 
Найдите все числа z такие, что начало координат O и точки, соответствующие числам z, 
лежат на одной окружности.
то 
Решим уравнение 
либо 
Поэтому 
то либо 
либо 
То есть либо 
либо 
откуда 
— это вертикальная прямая.
откуда 
— это горизонтальная ось (см. левый рисунок).
сначала отражает точку z относительно начала координат, а потом сдвигает полученную точку на 2. Значит, нужно сначала отразить единичную окружность относительно начала координат (она останется собой), а потом сдвинуть на 2 (она превратится в окружность радиуса 1 с центром в точке 2) (см. правый рисунок).
вещественное число, то точки 
лежат на горизонтальной оси. Если они все различны, то они не могут лежать на окружности. Если же нет, то либо 
либо 
(не лежит на окружности 
В первом случае получаем точки 
и 
то есть всего две различных точки. Этот случай годится.
и точки z и 
симметричны относительно горизонтальной оси. Значит, она является серединным перпендикуляром к соединяющему их отрезку и потому центр любой окружности, проходящей через z и 
лежит на ней.
а 
отсюда видно, что при 
(а если 
Итак, центром окружности должна быть точка 1. Значит, радиус окружности равен 
— равносторонний и имеет углы по 
Это позволяет найти такие точки с точностью до двух вариантов
б) см. рис.; в) см. рис.; г) 
и 
Найдите наименьшее значение расстояния между точками комплексной плоскости, соответствующими z и u.
где 
Тогда 
Отсюда 
но 
Покажем, что угол OAB может быть равен 
Для этого достаточно предъявить такое z, что 
а 
(теорема, обратная теореме Пифагора). Но пусть 
тогда 
то 
Итак, существует такое число z, что в треугольнике OAB прямой угол OAB, но тем самым наибольшее возможное значение площади — 
б) см. рис.; в) 2; г) 1.
принадлежащие множеству D.
где 
таких, что 
не больше 1 и задает круг с центром в точке 
радиуса 1.
лежит ниже вещественной оси и в круг не попадает, а точка 
лежит в D, поскольку 
а модуль удваивается. Значит, вся картинка поворачивается на 
против часовой стрелки и затем «раздувается» в два раза от начала координат (такое преобразование называется «поворотная гомотетия»). Ясно, что при этом получается круг радиуса 2, осталось лишь найти его центр.
а потом еще взять симметричные точки в M — для них дробь 
просто изменит знак и они тоже подойдут в исходное уравнение.
тем самым вопрос свелся к такому — какие прямые, проходящие через начало координат (с уравнением 
) пересекают оба круга и в каких точках?
Поэтому если провести обе касательные из начала координат, угол между ними составит 
При преобразованиях, давших круг M, этот угол не меняется. Поэтому прямая, проходящая под углом 
с вершиной в начале координат, она и будет единственной прямой, пересекающей обе окружности.
Точка касания ее с окружностью D очевидно расположена вдвое ближе к началу координат, так что это 
в) см. рис.; г) 
и 
тогда 
Ясно, что 
тогда и только тогда, когда 
а 
или 
такими, что 
с центром в точке 
Поэтому искомая фигура получается параллельным переносом на 1 влево из данного множества 
Искомое множество — окружность радиуса 1 с центром в точке 
к длине этой окружности (см. рис.). На чертеже A и C — это точки пересечения окружностей 
B — точка, соответствующая 1. Ясно, что треугольник OAB равносторонний, поэтому 
б) см. рис.; в) см. рис.; г) 
и множество M комплексных чисел, удовлетворяющих условию 
Точка K комплексной плоскости, соответствующая комплексному числу z, обозначается 
Найдите все корни уравнения 
принадлежащие множеству M.
где 
Найдите все вещественные числа a, при которых уравнение 
имеет такой корень 
что в четырехугольник OABC можно вписать окружность.
Пусть 
(см. рисунок).
получаем уравнение 
запишем его в виде 
Тогда 
То есть в этом множестве лежат точки, у которых координаты отличаются только знаком. Значит, это прямая 
(см. рисунок).
Пусть далее 
обязаны иметь вид 
(но не все такие могут подходить, поскольку может не получаться выпуклого четырехугольника). Подставим такое 
и 
Второе уравнение дает 
то 
эта точка в любом случае не подходит, можно даже не искать a.
то первое уравнение превращается в 
или 
Нетрудно видеть (см. рис.), что первая точка не подходит (поскольку O оказывается внутри треугольника ABC), вторая подходит. Для нее 
в) см. рис.; г) 
Число 
обозначается 
где 
таких, что 
найдите такие, при которых число 
будет наименьшим.
и 
к положительному направлению оси абсцисс. 
откуда 
и 
Первое условие дает 
тогда второе превращается в 
откуда 
Окончательно, подходят точки вида 
При этом 
Тогда 
при 
это дуга единичной окружности от 
до 
является 
Ясно, что ближайшая к 
Такое z разрешено.
в) 
г) 