16. Производная: исследование функций и построение графиков
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
Укажите промежутки возрастания, убывания, точки экстремума функции 
Найдите наибольшее и наименьшее значения этой функции на [1; 2].
Сразу отметим, что 
Возьмем производную этой функции:
Применяя метод интервалов, установим, что это выражение положительно при 
и отрицательно при 
Поэтому функция убывает на 
и на 
и возрастает на 
Значит, наименьшее ее значение на отрезке [1; 2] будет при 
а наибольшее — в одном из концов отрезка. Вычислим их:
Ответ: Функция убывает на и на и возрастает на 
имеет минимум при 
и максимум при x = 2, наибольшее значение на отрезке равно 0, а наименьшее 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
и на и возрастает на имеет минимум при и максимум при x = 2, наибольшее значение на отрезке равно 0, а наименьшее Задание парного варианта: 2320
Укажите промежутки возрастания, убывания, точки экстремума функции 
Найдите наибольшее и наименьшее значения этой функции на [−1; 1].
Возьмем производную данной функции:
Заметим, что при x > 0 будет 
и 
поэтому
и производная положительна, а при x < 0 будет 
и 
поэтому
и производная отрицательна. Значит, функция возрастает при x > 0, убывает при x < 0, точка x = 0 является точкой минимума, очевидно в ней и будет наименьшее значение на указанном отрезке. Наибольшее же будет в одном из концов отрезка. Вычислим значения:
Ответ: Функция возрастает на 
убывает на 
имеет глобальный минимум x = 0, наименьшее значение на [−1; 1] равно −1, а наибольшее 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
убывает на имеет глобальный минимум x = 0, наименьшее значение на [−1; 1] равно −1, а наибольшее Задание парного варианта: 2311
Найдите для функции 
первообразную, график которой касается прямой y = 16x. Постройте график найденной первообразной.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, то есть абсцисса точки касания удовлетворяет
Следовательно, точка касания 
Теперь найдем первообразную, применив интегрирование по частям
Так как искомая первообразная проходит через 
то для неё 
Для построения графика исследуем ее:
1) 
при 
и 
2) 
3) Стационарные точки — нули производной: 
и 
На 
производная положительна, следовательно, функция возрастает. На 
производная отрицательна, следовательно, функция убывает.
Ответ:
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Задание парного варианта: 2371
Исследуйте функцию
Постройте график функции.
Найдем область определения функции. При 
y не существует; при 
при 
То есть область определения 
Рассмотрим
y возрастает и выпукла вниз. Рассмотрим 
при 
при 
);
при 
при 
). Таким образом, на
y возрастает, на 
убывает. При 
y выпукла вниз, при 
y выпукла вверх. Точка 
является точкой перегиба.
Рассмотрим пределы функции. Имеем:
— точка разрыва второго рода. Далее имеем:
Осталось построить график.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Задание парного варианта: 2402
Исследуйте функцию f и постройте ее график при условии, что 
и 
Поскольку
производная функции непрерывна при 
В остальных точках она также непрерывна. Сама функция тоже непрерывна, поскольку всюду имеет производную.
При 
получаем
Из условия 
находим, что 
тогда 
При 
получаем
Из непрерывности функции при получаем 
откуда 
Итак, функция имеет вид
Отсюда видно, что 
и 
Исследуем ее монотонность с помощью производной. При 
выполнено равенство
откуда 
при 
и 
при 
При 
получим 
то есть производная положительна. Значит, функция убывает при 
и возрастает при 
и при 
Тогда 
и
Теперь можно построить ее график.
Ответ: см. рисунок.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Задание парного варианта: 4655
Пройти тестирование по этим заданиям
Наверх