РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 2306

Укажите промежутки возрастания, убывания, точки экстремума функции $y=8 в степени x минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус x\ln2.$ Найдите наибольшее и наименьшее значения этой функции на [−1; 1].

Спрятать решение

Решение.

Возьмем производную данной функции:

$левая круглая скобка 8 в степени x минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус x натуральный логарифм 2 правая круглая скобка '=8 в степени x натуральный логарифм 8 минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка натуральный логарифм 2 умножить на левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка ' минус натуральный логарифм 2=$
$=8 в степени x натуральный логарифм 2 в кубе минус 2 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка натуральный логарифм 2 умножить на 1 минус натуральный логарифм 2= 8 в степени x умножить на 3 натуральный логарифм 2 минус 2 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка натуральный логарифм 2 минус натуральный логарифм 2= натуральный логарифм 2 левая круглая скобка 3 умножить на 8 в степени x минус 2 умножить на 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка .$ $левая круглая скобка 8 в степени x минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус x натуральный логарифм 2 правая круглая скобка '=8 в степени x натуральный логарифм 8 минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка натуральный логарифм 2 умножить на левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка ' минус натуральный логарифм 2=$
$=8 в степени x натуральный логарифм 2 в кубе минус 2 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка натуральный логарифм 2 умножить на 1 минус натуральный логарифм 2=$
$= 8 в степени x умножить на 3 натуральный логарифм 2 минус 2 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка натуральный логарифм 2 минус натуральный логарифм 2= натуральный логарифм 2 левая круглая скобка 3 умножить на 8 в степени x минус 2 умножить на 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка .$ $левая круглая скобка 8 в степени x минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус x натуральный логарифм 2 правая круглая скобка '=$
$=8 в степени x натуральный логарифм 8 минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка натуральный логарифм 2 умножить на левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка ' минус натуральный логарифм 2=$
$=8 в степени x натуральный логарифм 2 в кубе минус 2 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка натуральный логарифм 2 умножить на 1 минус натуральный логарифм 2=$
$= 8 в степени x умножить на 3 натуральный логарифм 2 минус 2 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка натуральный логарифм 2 минус натуральный логарифм 2= натуральный логарифм 2 левая круглая скобка 3 умножить на 8 в степени x минус 2 умножить на 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка .$

Заметим, что при x > 0 будет $8 в степени x больше 2 в степени x$ и $8 в степени x больше 1,$ поэтому

$3 умножить на 8 в степени x минус 2 умножить на 2 в степени x минус 1=2 левая круглая скобка 8 в степени x минус 2 в степени x правая круглая скобка плюс 8 в степени x минус 1 больше 0$

и производная положительна, а при x < 0 будет $8 в степени x меньше 2 в степени x$ и $8 в степени x меньше 1,$ поэтому

$3 умножить на 8 в степени x минус 2 умножить на 2 в степени x минус 1=2 левая круглая скобка 8 в степени x минус 2 в степени x правая круглая скобка плюс 8 в степени x минус 1 меньше 0$

и производная отрицательна. Значит, функция возрастает при x > 0, убывает при x < 0, точка x  =  0 является точкой минимума, очевидно в ней и будет наименьшее значение на указанном отрезке. Наибольшее же будет в одном из концов отрезка. Вычислим значения:

$y левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =8 в степени 0 минус 2 в степени 1 минус 0 натуральный логарифм 2=1 минус 2 минус 0= минус 1,$

$y левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =8 в степени 1 минус 2 в квадрате минус натуральный логарифм 2=8 минус 4 минус натуральный логарифм 2=4 минус натуральный логарифм 2,$

$y левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =8 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка 0 правая круглая скобка минус левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка натуральный логарифм 2= дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби минус 1 плюс натуральный логарифм 2 меньше натуральный логарифм 2 меньше 1 меньше 4 минус натуральный логарифм 2.$

Ответ: Функция возрастает на $левая квадратная скобка 0; бесконечность правая круглая скобка ,$ убывает на $левая квадратная скобка минус бесконечность ;0 правая круглая скобка ,$ имеет глобальный минимум x  =  0, наименьшее значение на [−1; 1] равно −1, а наибольшее $4 минус натуральный логарифм 2.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 2311

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1987 год, работа 1, вариант 1

? Классификатор: Задачи на наибольшее и наименьшее значение функции, Исследование функций

Сложность: 9 из 10

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь