Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4649

Исследуйте функцию f и постройте ее график при условии, что f'(x)= система выражений 3x в квадрате минус 4x плюс 1, если x меньше 1, 1 минус левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка , если x больше или равно 1, конец системы . и f(0)=4.

Спрятать решение

Решение.

Поскольку

\lim \limits_xarrow 1 плюс 0 (3x в квадрате минус 4x плюс 1)=3 минус 4 плюс 1=0=1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 конец дроби ,

производная функции непрерывна при x=1. В остальных точках она также непрерывна. Сама функция тоже непрерывна, поскольку всюду имеет производную.

При x меньше 1 получаем

f(x)= принадлежит t (3x в квадрате минус 4x плюс 1) dx=x в кубе минус 2x в квадрате плюс x плюс C.

Из условия f(0)=4 находим, что C=4, тогда f(1)=4.

При x больше или равно 1 получаем

f(x)= принадлежит t левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка dx=x минус \ln x плюс C.

Из непрерывности функции при x=1 получаем 4=f(1)=1 минус 0 плюс C, откуда C=3.

Итак, функция имеет вид

f(x)=\left\\begin{aligned x в кубе минус 2x в квадрате плюс x плюс 4 при x меньше или равно 1, x минус \ln x плюс 3 при x больше или равно 1.\endaligned.

Отсюда видно, что \lim\limits_xarrow минус принадлежит fty f(x)= минус принадлежит fty и \lim\limits_xarrow плюс принадлежит fty f(x)= плюс принадлежит fty. Исследуем ее монотонность с помощью производной. При x меньше или равно 1 выполнено равенство

f'(x)=3x в квадрате минус 4x плюс 1=(x минус 1)(3x минус 1),

откуда f'(x) больше 0 при x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби и f'(x) меньше 0 при x принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; 1 правая круглая скобка . При x больше 1 получим f'(x)= дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: x конец дроби больше 0, то есть производная положительна. Значит, функция убывает при x принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; 1 правая квадратная скобка и возрастает при x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби и при x больше или равно 1. Тогда f(1)=4 и

f левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 27 конец дроби минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 9 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс 4= дробь: числитель: 112, знаменатель: 27 конец дроби .

Теперь можно построить ее график.

 

Ответ: см. рисунок.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4655

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1991 год, работа 5, вариант 1
? Классификатор: Исследование функций
?
Сложность: 10 из 10