Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2320
i

Ука­жи­те про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния, убы­ва­ния, точки экс­тре­му­ма функ­ции y=\ln левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс x в квад­ра­те минус 4x. Най­ди­те наи­боль­шее и наи­мень­шее зна­че­ния этой функ­ции на [1; 2].

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Сразу от­ме­тим, что 2x минус 1 боль­ше 0 рав­но­силь­но x боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Возь­мем про­из­вод­ную этой функ­ции:

 левая круг­лая скоб­ка \ln левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс x в квад­ра­те минус 4x пра­вая круг­лая скоб­ка '= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2x минус 1 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ' плюс 2x минус 4= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2x минус 1 конец дроби умно­жить на 2 плюс 2x минус 4=
=2x минус 4 плюс дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 2x минус 1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2, зна­ме­на­тель: 2x минус 1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4x в квад­ра­те минус 2x минус 8x плюс 4 плюс 2, зна­ме­на­тель: 2x минус 1 конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: 4x в квад­ра­те минус 10x плюс 6, зна­ме­на­тель: 2x минус 1 конец дроби =2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2x в квад­ра­те минус 5x плюс 3, зна­ме­на­тель: 2x минус 1 конец дроби =2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2x минус 1 конец дроби .

При­ме­няя метод ин­тер­ва­лов, уста­но­вим, что это вы­ра­же­ние по­ло­жи­тель­но при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка и от­ри­ца­тель­но при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 1; дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка . По­это­му функ­ция убы­ва­ет на  левая квад­рат­ная скоб­ка 1; дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и воз­рас­та­ет на  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и  левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка . Зна­чит, наи­мень­шее ее зна­че­ние на от­рез­ке [1; 2] будет при x= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , а наи­боль­шее  — в одном из кон­цов от­рез­ка. Вы­чис­лим их:

y левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =\ln левая круг­лая скоб­ка 3 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус 6= на­ту­раль­ный ло­га­рифм 2 минус дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = на­ту­раль­ный ло­га­рифм 2 минус дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,

y левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =\ln левая круг­лая скоб­ка 2 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 минус 4= на­ту­раль­ный ло­га­рифм 1 минус 3= минус 3,

y левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =\ln левая круг­лая скоб­ка 4 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 4 минус 8= на­ту­раль­ный ло­га­рифм 3 минус 4 боль­ше 1 минус 4= минус 3.

Ответ: Функ­ция убы­ва­ет на  левая квад­рат­ная скоб­ка 1; дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и воз­рас­та­ет на на  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и  левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка , имеет ми­ни­мум при x= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби и мак­си­мум при x  =  1, наи­боль­шее зна­че­ние на от­рез­ке равно  на­ту­раль­ный ло­га­рифм 3 минус 4, а наи­мень­шее  на­ту­раль­ный ло­га­рифм 2 минус дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2315

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1987 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 2
? Классификатор: За­да­чи на наи­боль­шее и наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции, Ис­сле­до­ва­ние функ­ций
?
Сложность: 8 из 10