Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2366
i

Най­ди­те для функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пер­во­об­раз­ную, гра­фик ко­то­рой ка­са­ет­ся пря­мой y  =  16x. По­строй­те гра­фик най­ден­ной пер­во­об­раз­ной.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной, то есть абс­цис­са точки ка­са­ния удо­вле­тво­ря­ет

 левая круг­лая скоб­ка 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =16 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 8x плюс 16 пра­вая круг­лая скоб­ка =16 рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 8x плюс 16 минус x в кубе плюс 8x в квад­ра­те минус 16x=16 рав­но­силь­но  x в кубе минус 9x в квад­ра­те плюс 24x=0 рав­но­силь­но x левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 9x плюс 24 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но x=0.

Сле­до­ва­тель­но, точка ка­са­ния  левая круг­лая скоб­ка 0,0 пра­вая круг­лая скоб­ка . Те­перь най­дем пер­во­об­раз­ную, при­ме­нив ин­те­гри­ро­ва­ние по ча­стям

 ин­те­грал \limits левая круг­лая скоб­ка 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те dx = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе плюс ин­те­грал \limits дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе dx =
= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни 4 = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе левая круг­лая скоб­ка 1 минус x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби x левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе плюс C.

Так как ис­ко­мая пер­во­об­раз­ная про­хо­дит через  левая круг­лая скоб­ка 0;0 пра­вая круг­лая скоб­ка то для неё C=0:

F левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби x левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе .

Для по­стро­е­ния гра­фи­ка ис­сле­ду­ем ее:

1)  F левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =0 при x=0 и x=4;

2)  \undersetxarrow плюс бес­ко­неч­ность \lim F левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус бес­ко­неч­ность ;

3)  Ста­ци­о­нар­ные точки  — нули про­из­вод­ной: x=1 и x=4. На  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ;1 пра­вая круг­лая скоб­ка про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на, сле­до­ва­тель­но, функ­ция воз­рас­та­ет. На  левая круг­лая скоб­ка 1; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­на, сле­до­ва­тель­но, функ­ция убы­ва­ет.

 

Ответ: F левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби x левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2371

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1989 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 1
? Классификатор: На­хож­де­ние пер­во­об­раз­ных, По­стро­е­ние гра­фи­ков функ­ций, гра­фи­ков урав­не­ний
?
Сложность: 9 из 10