3. Комплексные числа
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
3. Множество C точек комплексной плоскости задано уравнением 
а) Нарисуйте множество C.
б) Найдите такие точки 
расстояние от которых до мнимой оси 
в) Найдите множество значений 
при 
г) Найдите множество значений 
в 
при
и радиусом единица (см. рис.).
—
где 
(см. рис.). Так как 
то 
3. Даны три комплексных числа: 
а) Найдите расстояние от точки 
до фигуры, задаваемой уравнением 
б) Изобразите множество точек z комплексной плоскости, таких, что 
в) Пусть z пробегает все точки отрезка с концами 
а U и V — множества точек, которые пробегают при этом 
и 
Изобразите пересечение множеств U и V.
г) Пусть z пробегает все точки отрезка с концами 
Изобразите множество всех точек, которое пробегает при этом 
то 
и 
поэтому искомое множество — это срединный перпендикуляр к отрезку AB, то есть прямая CD.
—
и 
—
и 
Отрезок BC симметричен относительно нуля, поэтому образы U и V при этих поворотах совпадают.
где 
откуда
где 
и 
Значит, 
причем 
то есть искомый образ — дуга параболы 
между точками с координатами 
4. Пусть 
—
а) Докажите, что если 
то 
(O — начало координат).
б) Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику с вершинами 
в) Пусть 
Найдите множество значений радиусов окружностей, описанных около треугольника ABC.
г) При каком значении z, где площадь треугольника ABC принимает наибольшее значение?
—
и 
переводит треугольник с вершинами 
значит, (см. пункт а), точка O — центр описанной около данного треугольника окружности с радиусом 
При 
треугольник вырождается, при остальных значениях z, где 
поэтому для площади S подобного ему треугольника ABC (см. пункт б)) получаем формулу 
а 
Достаточно рассматривать случай, когда 
тогда 
производная примет вид 
при 
является наибольшим.
4. Пусть S — множество комплексных чисел, модуль которых равен единице.
а) Докажите, что все решения уравнения 
принадлежат множеству S.
б) Найдите все решения уравнения 
которые лежат в S.
в) Найдите все действительные a, при которых уравнение 
имеет решения, лежащие в S.
г) Найдите все значения 
при которых уравнение 
имеет решения, лежащие в S.
получим уравнение 
следовательно, 
так что 
поэтому и 
Можно, конечно, извлечь кубический корень из 
к примеру, 
но это несколько глуповато.
то 
откуда 
то 
и 
теперь из первого уравнения следует, что 
Система 
равносильна системе 
и 
и 
либо противоположны, то есть 
то есть 
то угол между 
(см. рис), значит, 
лежит на пересечении двух окружностей (см. рис): 
и 
откуда 
с, соответственно, вещественной осью и самой окружностью S. Поскольку это отображение есть композиция следующих двух: 
и 
первое из которых переводит окружность S на себя, то достаточно найти ее образ при втором отображении. Итак, нужно найти (описать, нарисовать) множество 
где 
Поскольку 
и 
то образы отрезков 
и 
симметричны относительно начала координат. Далее, 
и 
следовательно, образы отрезков 
и 
симметричны относительно оси ординат. Таким образом, достаточно нарисовать множество 
и выглядит так, как изображено на рисунке. Произведя две симметрии относительно осей координат, получим кривую, изображенную на рисунке (штриховой линией отмечена единичная окружность).
5. Пусть 
— точки плоскости, соответствующие указанным комплексным числам, 
— окружность 
а 
— множество комплексных чисел, заданное неравенством 
а) Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки 
до точек 
постоянна.
б) Изобразите на плоскости точки 
и множество комплексных чисел вида 
где 
в) Найдите такую точку 
и все такие равносторонние треугольники с вершинами на 
для которых сумма квадратов расстояний от их вершин до E наибольшая.
г) Выясните, верно ли, что для всякой точки w, лежащей в треугольнике ABC, найдется такое число 
заданное неравенством\linebreak 
является кругом, диаметр которого совпадает с отрезком 
вещественной оси. Так как 
(умножение на i) и параллельного переноса на вектор, 
поэтому 
при 
реализуется в точке 
треугольник — произвольный; г) да, верно.Пройти тестирование по этим заданиям