1. Показательная и логарифмическая функции
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1. Дана функция 
а) Решите уравнение 
б) Найдите наименьшее значение функции y.
в) Решите неравенство 
г) Сколько на графике функции y пар точек, симметричных друг другу относительно начала координат?
Обозначим 
тогда получаем:
(второй множитель не имеет корней). Тогда 
и будем искать наименьшее значение функции 
при 
Производная этой функции равна 
что отрицательно при 
и положительно при 
Значит, функция убывает при 
и возрастает при 
а ее наименьшее значение достигается при 
(то есть при 
и равно 
(то есть 
)
и 
Тогда
получим,
получим уравнение
не имеет корней. Уравнение 
имеет корни 
Эти числа обратны друг другу и положительны, поэтому они определяют два значения x, противоположных друг другу — 
Значит, такая пара точек ровно одна.
Задание парного варианта: 1977
Дана функция 
а) Решите неравенство 
б) Решите уравнение 
в) Выясните, при каких значениях a неравенство 
выполняется при всех x из множества 
г) Выясните, сколько корней имеет уравнение 
в зависимости от a.
и запишем неравенство в виде 
или 
Второй множитель всегда положителен, поскольку дискриминант трехчлена 
отрицателен. Поэтому неравенство равносильно 
то есть 
или 
или 
У многочлена в левой части есть корень 
поэтому он раскладывается на множители, один из которых 
или 
откуда 
или 
верно при 
поскольку при 
значения t заполняют луч 
Разделим неравенство на 
получим 
при 
Поскольку функция 
достаточно чтобы это неравенство выполнялось при 
Тогда 
то есть 
причем каждому его корню соответствует ровно один корень исходного уравнения. Исследуем функцию 
Возьмем ее производную: 
или 
и отрицательно при 
Значит, 
возрастает на 
и на 
и убывает на 
Далее, 
и 
тогда 
и 
и 
при 
три решения, при 
или 
два решения, при прочих a одно решение.
г) при Задание парного варианта: 2004
Дана функция 
а) Пусть 
Решите уравнение 
б) Пусть 
Решите неравенство 
в) Изобразите на плоскости множество всех таких пар 
что При каких a это уравнение имеет решение?
г) Найдите все такие 
при которых для любого натурального числа n уравнение 
имеет решение.
тогда
не подходит, поскольку для него 
Для второго корня все определено.
Сразу отметим, что 
где 
и 
Первое неравенство дает 
тогда последнее дает 
откуда 
и тогда 
поэтому многочлен раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его 
и 
положительны при 
поэтому они не оказывают влияния на знак выражения и на них можно сократить 
будут 
поэтому множество решений неравенства — отрезок 
Ясно, что 
Следовательно, учитывая неравенство 
сводится к 
при условии 
то есть 
или 
откуда 
то есть 
Другие условия для определенности 
писать не надо, поскольку в силу уравнения 
поэтому обе чаcти одновременно положительны и одновременно не равны 1. Отметим, что если бы это было не так, то условие 
не требовалось бы, зато следовало бы написать 
Значит, 
Это уравнение задает параболу с вершиной при 
и 
с которой надо взять точки, получающиеся при 
на ОДЗ сводится к 
) к 
Рассмотрим функцию 
Тогда 
откуда 
Поскольку также 
В таком случае 
при 
— отсюда будет следовать отсутствие решений. Тогда
дает 
поэтому функция определена на отрезке 
за исключением точки 
(при таком x получим 
что невозможно). При этом 
причем это рассуждение работает при всех натуральных n.
Подставим такое x. Допустим, 
и 
итого 
т. е. 
Поскольку нас интересует лишь положительное a, остался случай 
Попробуем при таком a решить изначальное уравнение при 
Заметим, что 
тогда
Задание парного варианта: 2070
Дана функция 
а) Докажите, что числа x и 
входят (либо не входят) в область определения функции f одновременно 
б) Решите уравнение 
в) Докажите, что для любого натурального числа 
уравнение 
имеет ровно одно решение на
г) Найдите все такие a, при которых уравнение 
имеет три решения.
и 
были положительны и 
то есть чтобы 
Ясно, что если x таково, то и 
Далее, при всех x, при которых функция определена, имеем 
тогда 
и нужно доказать, что
):
то 
или 
Если 
то 
или 
поэтому после той же замены получаем 
По условию 
тогда 
можно поделить на 
Итого 
Очевидно, при 
это выражение положительно, поэтому других корней на 
не будет.
Обозначим теперь 
откуда 
Заметим, что тогда 
и каждому положительному значению x соответствует единственное значение y, поэтому количество решений не меняется от этой замены. Уравнение превращается в такое
принимает три раза. Исследуем ее на монотонность. Возьмем производную:
то есть на промежутках 
и 
и убывает на промежутках 
и 
При этом 
и 
и 
затем 
затем 
затем 
Поэтому три раза принимаются значения из множества 
Задание парного варианта: 2014
Дана функция 
а) Решите уравнение 
б) Решите неравенство 
в) Решите уравнение 
при всех 
г) Числа a, b, c образуют возрастающую арифметическую прогрессию 
Докажите, что
тогда 
а при x > 2 имеем 
поэтому функция определена при 
Более того, обе части уравнения неотрицательны. Возведем его в квадрат
или 
тогда 
или 
Первое невозможно (мы уже доказали, что при 
это выражение не меньше 
Второе дает x > 2, которое мы уже угадали.
Значит, область определения этого неравенства определяется условиями 
и 
Первое неравенство после домножения на 
даст 
т. е. 
или 
При всех таких x второе неравенство выполнено. Также заметим, что 
Домножим это неравенство на знаменатели (они положительны) и решим его:
поэтому многочлен в левой части раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его 
Корнями второго множителя будут 
Используя метод интервалов, получим 
Для того, чтобы функция была определена, нужно 
Преобразуем уравнение
решений нет. при прочих a это уравнение сводится к 
и нужно еще, 
Решим это неравенство:
и выразим все через b и d. Решим:
тогда 
причем отрезок проходится в обратную сторону. Далее, 
и неравенство запишется в виде
Тогда площадь под графиком не больше, чем наибольшее значение функции, умноженное на длину промежутка интегрирования и нужная оценка будет доказана
при неотрицательных x и y (это сводится к 
), поэтому достаточно будет доказать, что
при остальных a решений нет.Задание парного варианта: 2031
Пройти тестирование по этим заданиям