Дана функция 
а) Пусть 
Решите уравнение 
б) Пусть 
Решите неравенство 
в) Изобразите на плоскости множество всех таких пар 
что При каких a это уравнение имеет решение?
г) Найдите все такие положительные a, при которых для любого натурального числа n уравнение 
имеет решение.
а), б) Задачи обоих этих пунктов совершенно стандартны. Сделаем лишь одно замечание. Так как область определения неравенства — это луч 
то 
следовательно, это неравенство равносильно тому, что 
в) Уравнение 
равносильно системе
Заметим, что в силу первого уравнения, одно из двух следующих за ним неравенств можно отбросить. Уравнение 
задает параболу, на которой нам следует взять лишь те ее точки, которые лежат вне полосы 
и не совпадают с точками пересечения этой параболы и прямой 
то есть с точками 
Теперь ничего не стоит получить ответ на второй вопрос, имеющий такую геометрическую переформулировку: при каких a на изображенном множестве существует точка с равной a второй координатой? Более того, ясна и зависимость от a числа корней уравнения 
Конечно, уравнение можно решать чисто алгебраически. В этом случае придется исследовать, в каком случае корни уравнения 
входят в область определения исходного уравнения, то есть потребуется решить иррациональные неравенства 
и уравнения 
Если же еще не обратить внимание на то, что неравенства 
и 
для корней квадратного уравнения имеют место одновременно, то придется также решать неравенства 
Таким образом, первый вопрос в данной задаче указывает подход, при помощи которого проще найти ответ и на второй.
Заметим, наконец, что задачу можно усложнить, предложив решить неравенство 
(что достаточно сложно сделать, если не пользоваться графической интерпретацией).
г) Можно, конечно, нарисовать график функции 
исследовав ее поведение при различных a. Однако проще перейти к уравнению 
На рисунках изображены графики функций 
и 
при 
и 
Ясно, что в первом случае при достаточно больших n (именно, 
эти графики не пересекаются, а во втором они имеют одну (и только одну — почему?) общую точку. Осталось исключить тот случай, когда их общая точка совпадает с то есть при 
Ответ:
Задание парного варианта: 2009