Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2031
i

Дана функ­ция  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x конец ар­гу­мен­та .

а)  Ре­ши­те урав­не­ние  f левая круг­лая скоб­ка 2x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: x конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = f левая круг­лая скоб­ка 4x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство  f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 4 минус x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 1 плюс x в квад­ра­те конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус x пра­вая круг­лая скоб­ка .

в)  Ре­ши­те урав­не­ние  f левая круг­лая скоб­ка 2x в сте­пе­ни a пра­вая круг­лая скоб­ка = f левая круг­лая скоб­ка 4x пра­вая круг­лая скоб­ка при всех  a при­над­ле­жит R .

г)  Числа a, b, c об­ра­зу­ют воз­рас­та­ю­щую гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию  левая круг­лая скоб­ка a боль­ше или равно 1 пра­вая круг­лая скоб­ка . До­ка­жи­те, что

 дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: c минус a конец дроби ин­те­грал \limits_a в сте­пе­ни c f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка dx боль­ше или равно f левая круг­лая скоб­ка b пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  По­ло­жим  a = 2x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,  b = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: x конец дроби ,  c = 4x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби . Тогда  c = ab, и дан­ное по­лу­ча­ем

 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 a конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 b конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 a плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 b конец ар­гу­мен­та ,

от­ку­да

 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 a = 0, ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 b боль­ше или равно 0

или

 log_2 a боль­ше или равно 0, ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 b = 0,

таким об­ра­зом,

 2x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = 1, дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: x конец дроби боль­ше или равно 1

или

 2x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше или равно 1, дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: x конец дроби = 1.

б)  По­сколь­ку функ­ция f на своей об­ла­сти опре­де­ле­ния  — луче  левая квад­рат­ная скоб­ка 1; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка   — яв­ля­ет­ся воз­рас­та­ю­щей, то дан­ное не­ра­вен­ство рав­но­силь­но двой­но­му не­ра­вен­ству

 1 мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 4 минус x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 1 плюс x в квад­ра­те конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус x,

от­ку­да  |x| мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та и

 x в кубе минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те плюс x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 4x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0.

в)  Имеем:  2x в сте­пе­ни a = 4x,  x боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , от­ку­да  x = 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfrac1 пра­вая круг­лая скоб­ка a минус 1 и  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: a минус 1 конец дроби боль­ше или равно минус 2, или  дробь: чис­ли­тель: 2a минус 1, зна­ме­на­тель: a минус 1 конец дроби боль­ше или равно 0.

г)  Не­труд­но по­нять, что функ­ция f вы­пук­ла вверх (про­верь­те, что  f'' мень­ше 0 пра­вая круг­лая скоб­ка . По­это­му ин­те­грал  ин­те­грал \limits_a в сте­пе­ни c f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка dx, рав­ный пло­ща­ди под­гра­фи­ка этой функ­ции, боль­ше пло­ща­ди за­штри­хо­ван­ной на ри­сун­ке тра­пе­ции, то есть

 ин­те­грал \limits_a в сте­пе­ни c f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка dx боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка c минус a пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка f левая круг­лая скоб­ка a пра­вая круг­лая скоб­ка плюс f левая круг­лая скоб­ка c пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка .

Оста­лось за­ме­тить, что

 f левая круг­лая скоб­ка a пра­вая круг­лая скоб­ка плюс f левая круг­лая скоб­ка c пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 a конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 c конец ар­гу­мен­та боль­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 a плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 c конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 b в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та f левая круг­лая скоб­ка b пра­вая круг­лая скоб­ка .

Ответ: а)  левая фи­гур­ная скоб­ка 2; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б)  левая квад­рат­ная скоб­ка минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та ; 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та пра­вая квад­рат­ная скоб­ка ; в)  2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfrac1 пра­вая круг­лая скоб­ка a минус 1 при  a мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,  a боль­ше 1; при осталь­ных a ре­ше­ний нет.


Задание парного варианта: 2075

? Источник: Про­филь­но-эли­тар­ный вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Санкт-Пе­тер­бург, 1995 год, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ло­га­риф­ми­че­ские не­ра­вен­ства, Ло­га­риф­ми­че­ские урав­не­ния и си­сте­мы, Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
?
Сложность: 11 из 10