Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1977
i

1.  Дана функ­ция y = 8 в сте­пе­ни x минус 3 умно­жить на 2 в сте­пе­ни x .

а)  Ре­ши­те урав­не­ние y = минус 2.

б)  Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции y.

в)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство y мень­ше или равно 4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x плюс \tfrac12 пра­вая круг­лая скоб­ка .

г)  Сколь­ко на гра­фи­ке функ­ции y пар точек, сим­мет­рич­ных друг другу от­но­си­тель­но на­ча­ла ко­ор­ди­нат?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  По­ло­жив t = 2 в сте­пе­ни x , по­лу­чим левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка t плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка = 0.

б)  Наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции f сов­па­да­ет с наи­мень­шим зна­че­ни­ем g левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка = t в кубе минус 3t при t боль­ше 0; на­хо­дим

g' левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка = 3t в квад­ра­те минус 3 = 3 левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

сле­до­ва­тель­но, t = 1  — точка ми­ни­му­ма и min f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 2.

в)  Сде­лав ту же за­ме­ну t = 2 в сте­пе­ни x , при­дем к не­ра­вен­ству t левая круг­лая скоб­ка t в квад­ра­те минус 2t минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0. Учи­ты­вая, что t боль­ше 0, по­лу­ча­ем 0 мень­ше t мень­ше или равно 3.

г)  Точки левая круг­лая скоб­ка x_1; f левая круг­лая скоб­ка x_1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка и левая круг­лая скоб­ка x_2; f левая круг­лая скоб­ка x_2 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка гра­фи­ка сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но на­ча­ла ко­ор­ди­нат в том и толь­ко том слу­чае, если x_1 = минус x_2 и f левая круг­лая скоб­ка x_1 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус f левая круг­лая скоб­ка x_2 пра­вая круг­лая скоб­ка , то есть f левая круг­лая скоб­ка x_1 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус f левая круг­лая скоб­ка минус x_1 пра­вая круг­лая скоб­ка , или

8 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x_1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x_1 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус левая круг­лая скоб­ка 8 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус x_1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус x_1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка .

Пусть t = 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x_1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0. Имеем:

t в кубе минус 3t плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: t в кубе конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: t конец дроби = левая круг­лая скоб­ка t плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: t конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: t в квад­ра­те конец дроби минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка = 0,

от­ку­да t = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 \pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: а)  0; б)  –2; в)  x мень­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 3; г)  одна пара, x_1 = минус x_2 = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та .


Задание парного варианта: 1999

? Источник: Про­филь­но-эли­тар­ный вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Санкт-Пе­тер­бург, 1990 год, ва­ри­ант 1
? Классификатор: По­ка­за­тель­ные не­ра­вен­ства, По­ка­за­тель­ные урав­не­ния и их си­сте­мы
?
Сложность: 11 из 10
Спрятать решение · Прототип задания · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025