Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2014

Дана функция f(x)= логарифм по основанию 2 x плюс логарифм по основанию (2x) x.

а) Докажите, что числа x и  дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 4x входят (либо не входят) в область определения функции f одновременно и f левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4x конец дроби правая круглая скобка = минус f(x).

б) Решите уравнение |f(x)|=f(2).

в) Докажите, что для любого натурального числа n\geqslant}2 уравнение f(x)=f(x в степени n ) имеет ровно одно решение на луче [1; плюс принадлежит fty).

г) Найдите все такие a, при которых уравнение f(x)=a логарифм по основанию 2 в квадрате 2x имеет три решения.

Спрятать решение

Решение.

а) Область определения данной функции —  левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; плюс принадлежит fty правая круглая скобка . Если x больше 0 и x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , то  дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 4x больше 0 и  дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 4x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , значит, эти числа входят в область определения одновременно. Далее, положив t= логарифм по основанию 2 x, получим, что

f(x)=t плюс дробь: числитель: t, знаменатель: t плюс 1 конец дроби =t плюс 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби t плюс 1.

Так как  логарифм по основанию 2 дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 4x= минус 2 минус логарифм по основанию 2 x, то

f левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 4x правая круглая скобка = минус 2 минус t плюс 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби минус 2 минус t плюс 1= минус (t плюс 1) плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби t плюс 1= минус f(x).

б) Указанная выше замена приводит к уравнению

\left| дробь: числитель: t в квадрате плюс 2t, знаменатель: t плюс 1 конец дроби |= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений t в квадрате плюс 2t= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби t плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,t в квадрате плюс 2t= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби t минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений t=1,t= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,t= минус 3, t= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .

в) Поскольку функция t плюс 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби t плюс 1 монотонна на [0; плюс принадлежит fty), то и данная функция монотонна на [1; плюс принадлежит fty). Следовательно, если f(x)=f(x в степени n ), то x=x в степени n .

г) Сделав замену u= дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби логарифм по основанию 2 2x, получим уравнение u минус u в кубе =a, u не равно 0. Число решений этого уравнения (в зависимости от a) определяется стандартным исследованием функции y=u минус u в кубе .

 

Ответ: б) \left \2; дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 2 корень из 2 ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из 2 \; г) 0 меньше |a| меньше дробь: числитель: 2, знаменатель: конец дроби 3 корень из 3 .


Задание парного варианта: 2019

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1994 год, вариант 1
? Классификатор: Логарифмические неравенства, Логарифмические уравнения и системы
?
Сложность: 11 из 10