Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2004
i

Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 в кубе x минус 3 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 в квад­ра­те x.

а)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0.

б)  Ре­ши­те урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 4.

в)  Вы­яс­ни­те, при каких зна­че­ни­ях a не­ра­вен­ство f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше a ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x вы­пол­ня­ет­ся при всех x из от­рез­ка левая квад­рат­ная скоб­ка 2, 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

г)  Вы­яс­ни­те, сколь­ко кор­ней имеет урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = a в за­ви­си­мо­сти от a.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  x = 1; x боль­ше или равно 8.

б)  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; 4.

в)  Сде­лав в не­ра­вен­стве ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 в кубе x минус 3 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 в квад­ра­те x мень­ше a ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x за­ме­ну, по­лу­чим не­ра­вен­ство t левая круг­лая скоб­ка t в квад­ра­те минус 3t минус a пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0, ко­то­рое верно при всех t при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 1; дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка тогда и толь­ко тогда, когда a боль­ше \max_ левая квад­рат­ная скоб­ка 1; \tfrac52 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t в квад­ра­те минус 3t пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

г)  Гра­фик функ­ции g левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка = t в кубе минус 3t в квад­ра­те изоб­ра­жен на ри­сун­ке. Урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = a имеет один ко­рень при a мень­ше минус 4, a боль­ше 0, два  — при a = минус 4; a = 0; три корня при минус 4 мень­ше a мень­ше 0.

 

Ответ: а)  x = 1; x боль­ше или равно 8; б)  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; 4; в)  a боль­ше минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; г) один ко­рень при a мень­ше минус 4, a боль­ше 0, два  — при a = минус 4; a = 0; три корня при минус 4 мень­ше a мень­ше 0.


Задание парного варианта: 2026

? Источник: Про­филь­но-эли­тар­ный вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Санкт-Пе­тер­бург, 1991 год, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ло­га­риф­ми­че­ские не­ра­вен­ства, Ло­га­риф­ми­че­ские урав­не­ния и си­сте­мы
?
Сложность: 11 из 10
Спрятать решение · Прототип задания · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025