PDF-версии: 
При каких значениях параметра a число нуль является корнем уравнения 
Для каждого такого значения a решите это уравнение.
Решение. Так как нуль по условию является корнем уравнения, при подстановке образуется верное равенство 
то есть 
откуда 
Решим уравнение
Оно равносильно системе
Решим тригонометрическое уравнение системы, используя формулы синуса и косинуса двойного аргумента:
Учитывая условие 
окончательно получаем: 
Ответ: при 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
имеет решения, и для этого значения b решите неравенство 
получим 
Обозначим 
Получаем 
принимает все значения на отрезке 
наименьшее возможное b будет равно 
или 
или 
получим, что 
Для каждого из найденных a вычислим оставшиеся корни производной. Имеем тройки: 2, −3, 
2, 
2. Так как все три корня производной различны, точка минимума –– наибольший или наименьший из них, что соответствует первым двум случаям. Тогда искомые значения параметра: 4 и −1. 
проведенная в точке графика с абсциссой 1, имеет с этим графиком ровно одну общую точку.
где 
и 
— значения функции и ее производной при x0 = 1:
или после преобразований, 
определяет абсциссы общих точек графика функции и касательной к нему. По условию задачи это уравнение должно иметь одно действительное решение. Но так как рассматриваемое уравнение четвертой степени, это возможно лишь в двух случаях: либо когда уравнение имеет один действительный двукратный корень, либо — один четырехкратный корень. Одно решение нам известно — 
Значит, 1 — по меньшей мере — двукратный корень, и, следовательно, многочлен в левой части уравнения делится на 
таким образом, должен иметь либо кратный корень, либо не иметь действительных корней. Эти условия выполняются, когда его дискриминант неположительное число, т. е. когда 
что возможно при 
Но если 
трехчлен 
имеет кратный корень -1, что нарушает условие задачи. 
имеет с касательной к нему в точке с абсциссой 1 ровно одну общую точку при всех 
проведенные через точку оси Oy с ординатой a, высекают на оси Ox отрезок длины 4.
с абсциссой точки касания 
имеют вид 
и пересекаются с осью абсцисс в точках (
) 
— положительная и отрицательная абсциссы точек касания. Определим их из условия 
получим ответ: 
равна 
Решим уравнение
Поскольку площадь этого круга есть 
внутри полосы, задаваемой двойным неравенством 
должна лежать его левая или правая половина (см. рис.). Это возможно, если центр круга лежит в точках 
или 
Таким образом, искомые значения параметра суть 
и 
и 
Для того, чтобы оно имело ровно один корень, необходимо и достаточно выполнения условий:
имеет единственное решение.
то неравенство принимает вид 
и, следовательно, имеет единственное решение 
Если 
то данное неравенство имеет бесконечное множество решений: либо отрезок [0; 3а], либо отрезок [3а; 0]. 