23. Интеграл: площадь -- сумма площадей
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями 
и 
Будем считать независимой переменой y. Тогда построим график функции 
и проведем прямые и 
в координатной плоскости yOx (см. рис.). Обозначим площадь искомой фигуры через S:
Другое решение.
Первое уравнение дает 
Эта линия пересекает прямые 
в точках 
и 
Область изображена на рисунке. она состоит из прямоугольника с вершинами 
(его площадь 2) и криволинейного четырехугольника площадью
Окончательный ответ 
Ответ: 4.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Задание парного варианта: 4652
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями 
и 
Изобразим заданную фигуру (см. рис.). Координаты точек A, B и C можно определить, используя рисунок. Так координаты точки A(0; 1), точки B(1; 2), точки C(3; 0).
Например, проверим: B — точка пересечения графиков 
и При x = 1: для прямой получим 
для кубической параболы 
Имеет место совпадение ординат. Точка C — точка пересечения графиков 
и 
При x = 3 получим, с одной стороны, 
с другой стороны, 
Площадь заданной фигуры будем искать как разность площадей фигуры OABC и треугольника AOC. В свою очередь посчитаем площадь фигуры OABC посчитаем как сумму площадей трапеции OABD и фигуры DBC.
Для трапеции OABD
Для треугольника OAC
Для фигуры DBC
Для площади заданной фигуры 
Ответ: 2.
Замечание. Для решения данной задачи применим также способ, рассмотренный при решении задания № 3 второго варианта.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Задание парного варианта: 2556
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями 
и 
I способ. При любых 
выполняется 
и 
Таким образом, фигура, площадь которой мы ищем, ограничена прямыми x = 0 и x = π и графиками функций 
и 
расположенными так, что при 
выполняется 
В этом случае искомая площадь равна
Ответ: 
II способ. Как и в предыдущем способе получаем, что фигура ограничена прямыми x = 0 и x = π и графиками функций и расположенными так, что при выполняется
Покажем, что графику функции 
симметричен относительно точки 
— середины отрезка [0; π]. Пусть 
Тогда
т. е. 
а это и означает, что график центрально-симметричен относительно точки 
Отсюда следует, что фигура AFGM равна фигуре BLKM (см. рис.), в частности, равны площади этих фигур. В итоге получаем, что искомая площадь заданной фигуры равна площади криволинейной трапеции AECB
Ответ:
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Задание парного варианта: 2664
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: 
Поскольку
и 
указанные в условии графики функций — параболы, касающиеся оси абсцисс в точках 
и 
Найдем точку их пересечения
Заметим, что вершины парабол симметричны относительно точки
поэтому область симметрична относительно прямой 
и можно искать только площадь под графиком 
на промежутке 
а затем удвоить ее. Поэтому площадь области равна
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями 
y = 2.
Функция 
определена только при 
а функция 
— только при 
При этом при x = 0 они обе определены и дают 0. Прямую y = 2 они пересекают при x = 4 и x = −2 соответственно.
Значит, искомая площадь равна
Ответ: 4.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Задание парного варианта: 2280
Пройти тестирование по этим заданиям
Наверх