Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2556

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = (x плюс 2) в кубе плюс 3, y = минус 4x и y = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби x.

Спрятать решение

Решение.

Графики функций y = (x плюс 2) в кубе плюс 3 и y = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби x пересекаются в точке A с абсциссой (−3). Имеем:

(x плюс 2) в кубе плюс 3 = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби x равносильно 3x в кубе плюс 18x в квадрате плюс 38x плюс 33 = 0 равносильно (x плюс 3)(3x в квадрате плюс 9x плюс 11) = 0 равносильно x = минус 3.

Заданная фигура изображена на рисунке. Предложим для вычисления ее площади способ, использующий симметрию графика y = (x плюс 2) в кубе плюс 3 относительно точки M(−2; 3).

Убедимся в том, что этот график центрально симметричен относительно M. Покажем, что если M1(−2 + 𝛼; 3 + 𝛽) принадлежит графику, то ему также принадлежит M2(−2 − 𝛼; 3 − 𝛽). Для M1 имеем равенство

3 плюс бета = (( минус 2 плюс альфа ) плюс 2) в кубе плюс 3 равносильно бета = альфа в кубе ,

тогда

3 минус бета = 3 минус альфа в кубе равносильно 3 минус бета = (( минус 2 минус альфа ) плюс 2) в кубе ,

то есть M2 действительно лежит на данном графике.

Из симметрии следует равенство «двуугольников» MC и MA, а следовательно, равенство их площадей. Поэтому площадь закрашенной фигуры равна площади треугольника AOC, которую можно вычислить как разность площади прямоугольника ODPK и суммы площадей треугольников APC, CDO и AKO:

S = 3 умножить на 4 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби (2 умножить на 2 плюс 4 умножить на 1 плюс 3 умножить на 2) = 5.

Ответ: 5.

 

Замечание. Решение этой задачи стандартными приемами, может быть, более эффективно (смотри задание № 3 первого варианта). Приведенное решение навеяно скорее не прагматическими, а эстетическими соображениями и, думаем, с этой точки зрения будет по достоинству оценено читателями.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2550

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1993 год, работа 2, вариант 2
? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей
?
Сложность: 7 из 10