18. Наибольшее и наименьшее значение, множество значений
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
Найдите наибольшее и наименьшее значение функции 
на промежутке 
Чтобы указать наибольшее и наименьшее значения функции, найдем значения функции на концах отрезка 
и в критических точках, принадлежащих этому отрезку. Данная функция определена и дифференцируема ℝ. Ее производная равна 
Найдем критические точки, решив уравнение 
т. е.
Однако заметим, что только первый корень принадлежит отрезку Теперь вычислим значения функции в точке −2 на концах отрезка: 
и 
Очевидно, что
Следовательно, 
и 
Ответ: и
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
и Задание парного варианта: 4020
Исследуйте функцию 
на возрастание, убывание и экстремумы. Найдите наибольшее значение функции на промежутке
Данная функция определена и дифференцируема на ℝ. Найдем ее производную: 
Решив уравнение отыщем критические точки
Корни уравнения разбивают множество действительных чисел на четыре промежутка. Определим знак производной на каждом из них (см. рис.).
1) Если 
то 
так как 
2) Если 
то 
так как 
3) Если 
то так как 
4) Если 
то так как 
Следовательно, на промежутках 
и 
функция убывает, а на промежутках 
и 
возрастает. Точки 
являются точками экстремума, найдем экстремумы: 
и 
Определим наибольшее значение функции на промежутке 
Этому отрезку принадлежат две точки экстремума, причем одна из них совпадает с его правым концом. Найдем значение функции в точке −3: 
Сравнив полученное число с экстремумами, приходим к выводу, что 
Ответ: функция возрастает, а на и — убывает; экстремумы функции: и 
где
Комментарий. При проверки работ надо учитывать те требования, которые предъявлялись к оформлению работ в течение года. Например ответ может быть записан так: функция возрастает на промежутках 
и 
убывает на промежутках 
и 
экстремумы функции: — минимум, — максимум, 
— минимум; Запись ответа в виде объединения множеств 
является ошибкой, так как функция является возрастающей на каждом из промежутков, но не на их объединении.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
и функция возрастает, а на и — убывает; экстремумы функции: и где Задание парного варианта: 3997
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
на промежутке 
Данная функция определена и дифференцируема на множестве ℝ а значит, и на промежутке Наибольшее и наименьшее значения на промежутке функция принимает в точках экстремумов, если они есть, или в концах промежутка. Выясним существование точек экстремумов из условия 
получим 
тогда
Точка 
не принадлежит промежутку Вычисляем значения функции в точках 4, 5 и 6: тогда 
и
и 
Из этих значении наименьшим является (−270), а наибольшим (−247).
Ответ: 
и 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
и Задание парного варианта: 4105
Найдите наибольшее и наименьшее значение функции 
на отрезке 
Найдем производную:
Поскольку косинус не принимает значений больших 1, производная не принимает положительных значений (то есть f(x) убывает при всех), причем 
обращается в нуль в точках, где 
то есть 
или 
Изобразим поведение функции на рисунке. Поскольку f(x) убывает на
наибольшее значение равно
Ответ: наименьшее значение — 
наибольшее — 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
наибольшее — Задание парного варианта: 3686
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
на отрезке
Найдем производную исходной функции:
Изобразим на рисунке знаки производной и поведение функции:
Ясно, что наименьшее на отрезке 
значение функции достигается в точке минимума:
Наибольшее значение достигается на конце отрезка. Сравним:
Cледовательно, 
Ответ: наибольшее значение функции: 21; наименьшее — 5.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Задание парного варианта: 3782
Пройти тестирование по этим заданиям
Наверх