Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3997
i

Ис­сле­дуй­те функ­цию f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =3x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 4x в кубе минус 36x в квад­ра­те минус 4 на воз­рас­та­ние, убы­ва­ние и экс­тре­му­мы. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на про­ме­жут­ке левая квад­рат­ная скоб­ка 0;3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Дан­ная функ­ция опре­де­ле­на и диф­фе­рен­ци­ру­е­ма на ℝ. Най­дем ее про­из­вод­ную: f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =12x в кубе плюс 12x в квад­ра­те минус 72x. Решив урав­не­ние f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =0, оты­щем кри­ти­че­ские точки

12x в кубе плюс 12x в квад­ра­те минус 72x=0 рав­но­силь­но x в кубе плюс x в квад­ра­те минус 6x=0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но x левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=0, левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x_1= минус 3,x_2=0, x_3=2. конец со­во­куп­но­сти .

Корни урав­не­ния раз­би­ва­ют мно­же­ство дей­стви­тель­ных чисел на че­ты­ре про­ме­жут­ка. Опре­де­лим знак про­из­вод­ной на каж­дом из них (см. рис.).

Сле­до­ва­тель­но, на про­ме­жут­ках левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и левая квад­рат­ная скоб­ка 0; 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка функ­ция убы­ва­ет, а на про­ме­жут­ках левая квад­рат­ная скоб­ка минус 3; 0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и левая квад­рат­ная скоб­ка 2; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка воз­рас­та­ет. Точки левая фи­гур­ная скоб­ка минус 3; 0; 2 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка яв­ля­ют­ся точ­ка­ми экс­тре­му­ма, най­дем экс­тре­му­мы: y левая круг­лая скоб­ка минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 193, y левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 4 и y левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 68. Опре­де­лим наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на про­ме­жут­ке левая квад­рат­ная скоб­ка 0; 3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Ука­зан­но­му чис­ло­во­му от­рез­ку при­над­ле­жат толь­ко две точки экс­тре­му­ма: f левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 4 и f левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 68, при­чем одна из них яв­ля­ет­ся кон­цом от­рез­ка левая квад­рат­ная скоб­ка 0; 3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Срав­нив эти экс­тре­му­мы со зна­че­ни­ем функ­ции f левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =23 на дру­гом конце от­рез­ка, по­лу­ча­ем \max_ левая квад­рат­ная скоб­ка 0; 3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка f левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =23.

 

Ответ: левая квад­рат­ная скоб­ка минус 3; 0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и левая квад­рат­ная скоб­ка 2; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка функ­ция воз­рас­та­ет, а на левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и левая квад­рат­ная скоб­ка 0; 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка   — убы­ва­ет; экс­тре­му­мы функ­ции: y левая круг­лая скоб­ка минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 193,y левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 4 и y левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 68, где \max_ левая квад­рат­ная скоб­ка 0; 3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка f левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =23.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3991

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 2001 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 2
? Классификатор: За­да­чи на наи­боль­шее и наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции, Ис­сле­до­ва­ние функ­ций
?
Сложность: 2 из 10
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025