№ 3991 
Выпускные экзамены по математике для школ России. Базовая программа. 18. Наибольшее и наименьшее значение, множество значений
i
Исследуйте функцию 
на возрастание, убывание и экстремумы. Найдите наибольшее значение функции на промежутке 
Решение. Данная функция определена и дифференцируема на ℝ. Найдем ее производную: 
Решив уравнение 
отыщем критические точки
Корни уравнения разбивают множество действительных чисел на четыре промежутка. Определим знак производной на каждом из них (см. рис.).
1) Если 
то 
так как 
2) Если 
то 
так как 
3) Если 
то так как 
4) Если 
то так как 
Следовательно, на промежутках 
и 
функция убывает, а на промежутках 
и 
возрастает. Точки 
являются точками экстремума, найдем экстремумы: 
и 
Определим наибольшее значение функции на промежутке 
Этому отрезку принадлежат две точки экстремума, причем одна из них совпадает с его правым концом. Найдем значение функции в точке −3: 
Сравнив полученное число с экстремумами, приходим к выводу, что 
Ответ: функция возрастает, а на и — убывает; экстремумы функции: и 
где
Комментарий. При проверки работ надо учитывать те требования, которые предъявлялись к оформлению работ в течение года. Например ответ может быть записан так: функция возрастает на промежутках 
и 
убывает на промежутках 
и 
экстремумы функции: — минимум, — максимум, 
— минимум; Запись ответа в виде объединения множеств 
является ошибкой, так как функция является возрастающей на каждом из промежутков, но не на их объединении.
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: 
и
функция возрастает, а на
и
— убывает; экстремумы функции:
и
где
Задание парного варианта: 3997
