Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3782

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=x в степени (4) минус 4x в кубе плюс 6x в квадрате минус 4x минус 9 на отрезке [0; 4].

Спрятать решение

Решение.

Функция f(x) определена и дифференцируема на ℝ, а следовательно, и на данном отрезке. Тогда

f'(x)=4x в кубе минус 12x в квадрате плюс 12x минус 4=4(x в кубе минус 3x в квадрате плюс 3x минус 1)=4(x минус 1) в кубе .

Так как f'(x)=0 при x=1. Значит, функция f(x) имеет единственную критическую точку х = 1, которая принадлежит отрезку [0; 4]. Тогда f(0)= минус 9,

f(1)=1 минус 4 плюс 6 минус 4 минус 9= минус 10

и f(4)=256 минус 256 плюс 96 минус 16 минус 9=71.

 

Ответ: \underset[0; 4]\mathop\max f(x)=f(4)=71; \underset[0; 4]\mathop\min f(x)=f(1)= минус 10.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3776

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 1997 год, работа 3, вариант 2
? Классификатор: Задачи на наибольшее и наименьшее значение функции
?
Сложность: 3 из 10