Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3686

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=2x плюс косинус 2x на отрезке [0; Пи ].

Спрятать решение

Решение.

Эта функция определена, непрерывна и дифференцируема на ℝ, частности, и на данном отрезке. f'(x)=2 минус 2 синус 2x. Критическими точками этой функции являются нули ее производной, т. е. точки x= дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , где k принадлежит Z , но из всех этих точек отрезку [0; Пи ] принадлежат только точки x=0, x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби и x= Пи . Тогда f(0)=1, f( дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби )= Пи минус 1 и f( Пи )=2 Пи плюс 1. Наибольшим (наименьшим) значением функции f(x) является большее (меньшее) из чисел −1;  Пи минус 1; 2 Пи плюс 1. Значит,

 \max _x принадлежит [0; Пи ]f(x)=f( Пи )=2 Пи плюс 1

и

 \min _x принадлежит [0; Пи ]f(x)=f(0)=1.

 

Ответ: наименьшее значение: 1; наибольшее — 2 Пи плюс 1.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3680

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 1996 год, работа 2, вариант 2
? Классификатор: Задачи на наибольшее и наименьшее значение функции
?
Сложность: 3 из 10