Пусть a, b, c  — длины ребер дан­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да. Тогда

а)  Пусть Имеем:

б)  Не­ра­вен­ство рав­но­силь­но или

в)  Вве­дем функ­цию Имеем:

зна­чит,   — ис­ко­мое наи­боль­шее зна­че­ние.

г)  Пусть

Вы­чис­лив про­из­вод­ную, по­лу­чим, что ее корни  — это корни урав­не­ния

дис­кри­ми­нант ко­то­ро­го равен Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мое зна­че­ние (не­труд­но по­ка­зать, что при най­ден­ном k зна­че­ние функ­ции g наи­боль­шее).

Ответ: а)  в)  1,8; г) 

а)  Ре­ше­ние  — на ри­сун­ке, крат­чай­ший путь можно ис­кать среди путей на раз­верт­ке куба (см. рис).

б)  и (см. пункт г)).

в)  Если A и B лежат на со­сед­них гра­нях, то рас­сто­я­ние между ними не пре­вос­хо­дит Пред­по­ло­жим, что они на­хо­дят­ся на про­ти­во­по­лож­ных гра­нях. Обер­нем кубик по­лос­кой ши­ри­ной еди­ни­ца и дли­ной че­ты­ре, на­чи­ная от точки A. Так как B по­па­дет в одну из двух ее по­ло­вин, то

г)  Точки E и W можно со­еди­нить тремя пу­тя­ми, длины d_i ко­то­рых равны, со­от­вет­ствен­но, и (см. рис.), а об­ра­зы путей ко­то­рых на раз­верт­ках па­рал­ле­ле­пи­пе­да яв­ля­ют­ся от­рез­ка­ми. По­сколь­ку и то

при­чем если и то есть и Оста­лось за­ме­тить, что в этом слу­чае и

Ответ: а)  5; б)  при и г)  два ребра имеют длину а тре­тье  —

а)  Имеем: так как

б)  Имеем:

в)  Пусть Если то

в част­но­сти, на­чи­ная с не­ко­то­ро­го но­ме­ра k, что про­ти­во­ре­чит не­ра­вен­ству тре­уголь­ни­ка.

г)  Так как

при то Далее, по­ло­жив по­лу­чим, что   — мо­но­тон­ная на функ­ция.

Ответ: б) нет, не су­ще­ству­ет.

а)  На чер­те­же AB, AC — ка­са­тель­ные к окруж­но­сти, (точке A со­от­вет­ству­ет по­ло­же­ние пе­ре­дат­чи­ка, точке O — цен­тра Земли). По усло­вию долж­но вы­пол­нять­ся не­ра­вен­ство для этого не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы:

б)  Длина дуги BM равна ясно, что За­ме­тим, что

По­нят­но, что если то и По­это­му

в)  На чер­те­же AB — ка­са­тель­ная к окруж­но­сти, длина дуги BM равна Дуга CM — чет­верть эк­ва­то­ра, (точке A со­от­вет­ству­ет по­ло­же­ние пе­ре­дат­чи­ка, точке O — цен­тра Земли). Тре­бу­ет­ся до­ка­зать, что длина дуги BC не мень­ше 100 км. Но эта длина равна Вы­во­дим:

г)  На чер­те­же точ­кам A и B со­от­вет­ству­ют вер­ши­ны мачт, AB — ка­са­тель­ная к окруж­но­сти в точке C, длина дуги BC равна Обо­зна­чим s — рас­сто­я­ние между ос­но­ва­ни­я­ми двух со­сед­них мачт (при ука­зан­ном их рас­по­ло­же­нии), По­сколь­ку то таким об­ра­зом,

Пусть км. По­лу­чим:

Те­перь оце­ним длину по­лу­чен­но­го ин­тер­ва­ла

для этого за­ме­тим, что вы­пол­ня­ет­ся не­ра­вен­ство причём

Те­перь за­пи­шем:

Те­перь предъ­явим еще одно число из ин­тер­ва­ла  — число То, что оно при­над­ле­жит этому ин­тер­ва­лу сле­ду­ет из двой­но­го не­ра­вен­ства

Пра­вая часть ко­то­ро­го оче­вид­на, а левую часть до­ка­зы­ва­ет­ся воз­ве­де­ни­ем в квад­рат:

По­сколь­ку число от­ли­ча­ет­ся от 40 мень­ше, чем на еди­ни­цу, то число участ­ков между со­сед­ни­ми мач­та­ми (при вы­бран­ном нами и тем более при вся­ком ином спо­со­бе их рас­по­ло­же­ния) долж­но быть не мень­ше 40, но это и озна­ча­ет, что нужно не менее 41 мачты.

Ответ: а) км; в) см. рис.

Сразу от­ме­тим, что если вер­ши­ны этого пря­мо­уголь­ни­ка на гра­фи­ке функ­ции имеют ко­ор­ди­на­ты и то и пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна Если же вер­ши­ны лежат не на гра­фи­ке, а под ним, то можно не­мно­го при­под­нять их  — пока одна из них не ока­жет­ся на гра­фи­ке. Если при этом вто­рая не ока­за­лась на гра­фи­ке, а ока­за­лась ниже него  — можно удли­нить пря­мо­уголь­ник, сдви­нув его вер­ши­ну по го­ри­зон­та­ли, пока она не ока­жет­ся на гра­фи­ке. По­это­му в даль­ней­шем мы будем рас­смат­ри­вать толь­ко такие пря­мо­уголь­ни­ки, у ко­то­рых две вер­ши­ны на гра­фи­ке. Ана­ло­гич­но по­сту­пим и с тра­пе­ци­я­ми  — их ос­но­ва­ния можно уве­ли­чить, до­ве­дя до пе­ре­се­че­ния с гра­фи­ком.

Кроме того, мы будем счи­тать, что функ­ция на про­ме­жут­ке всюду не­от­ри­ца­тель­на, иначе по­ня­тие ее под­гра­фи­ка в этой за­да­че не­сколь­ко те­ря­ет смысл (если раз­ре­шить брать вер­ши­ны пря­мо­уголь­ни­ка в от­ри­ца­тель­ной об­ла­сти по ор­ди­на­те, то пря­мо­уголь­ник можно сде­лать какой угод­но пло­ща­ди).

а)  Оче­вид­но   — чет­ная функ­ция, опре­де­лен­ная при усло­вии то есть при

Кроме того, если то (при мы не по­лу­чим двух раз­лич­ных точек). Итак, нас будет ин­те­ре­со­вать мак­си­мум функ­ции

при Для этого най­дем мак­си­мум вы­ра­же­ния Его про­из­вод­ная равна

что по­ло­жи­тель­но при и от­ри­ца­тель­но при Зна­чит, мак­си­маль­ная пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна

б)  Здесь   — тоже чет­ная функ­ция, при­чем опять же на ука­зан­ном про­ме­жут­ке ра­вен­ство воз­мож­но толь­ко при Зна­чит, нас будет ин­те­ре­со­вать мак­си­мум функ­ции

при На кон­цах про­ме­жут­ка зна­че­ния функ­ции равны нулю. Возь­мем ее про­из­вод­ную

При­рав­ни­вая ее к нулю, по­лу­чим Это урав­не­ние имеет корни на ука­зан­ном про­ме­жут­ке, по­сколь­ку обе части не­пре­рыв­ны, при левая часть боль­ше пра­вой, а при пра­вая боль­ше левой, зна­чит, где-то между этими точ­ка­ми есть ра­вен­ство. Но если бы вы­со­та была вдвое мень­ше ши­ри­ны, то мы имели бы и, сле­до­ва­тель­но, Тогда что не со­от­вет­ству­ет усло­вию Ответ  — нет, не­вер­но.

в)  Пусть вер­ши­ны этой тра­пе­ции  — точки при­чем Тогда ее пло­щадь равна

по­сколь­ку Обо­зна­чая по­лу­чим Но мак­си­маль­ная пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка это мак­си­мум функ­ции а не про­сто какое-то ее зна­че­ние, по­это­му пло­щадь тра­пе­ции не может ока­зать­ся боль­ше.

Если же они равны, то долж­но еще вы­пол­нять­ся усло­вие от­ку­да Но тогда точки об­ра­зу­ют пря­мо­уголь­ник, а не тра­пе­цию.

г)  Здесь   — тоже чет­ная функ­ция, при­чем опять же на ука­зан­ном про­ме­жут­ке ра­вен­ство воз­мож­но толь­ко при Зна­чит, нас будет ин­те­ре­со­вать мак­си­мум функ­ции

при При по­лу­чим 0, при по­лу­чим зна­чит, нам нужно, чтобы в про­ме­жу­точ­ных точ­ках не было зна­че­ния боль­ше. Возь­мем про­из­вод­ную

Оче­вид­но эта про­из­вод­ная убы­ва­ет, по­сколь­ку x и по­ло­жи­тель­ны и воз­рас­та­ют. а убы­ва­ет на ука­зан­ном про­ме­жут­ке. Зна­чит, она либо на всем про­ме­жут­ке по­ло­жи­тель­на (тогда мак­си­мум функ­ции будет при ведь функ­ция воз­рас­та­ет), либо на всем про­ме­жут­ке от­ри­ца­тель­на (тогда наи­боль­шее зна­че­ние при ), либо сна­ча­ла по­ло­жи­тель­на, а потом от­ри­ца­тель­на (тогда у про­из­вод­ной есть ко­рень, ему со­от­вет­ству­ет точка мак­си­му­ма ис­ход­ной функ­ции и, зна­чит, есть пло­щадь, боль­шая чем ).

Нас устра­и­ва­ет лишь пер­вая си­ту­а­ция, а для нее долж­но вы­пол­нять­ся усло­вие  — зна­че­ние про­из­вод­ной при долж­но быть не­от­ри­ца­тель­но, то есть от­сю­да

Ответ: а) 2; б) нет, не­вер­но; г)