Будем говорить, что прямоугольник (трапеция) вписан в подграфик функции f, если одна из его (её) сторон лежит на оси абсцисс, а две вершины — на подграфике этой функции.
а) Найдите наибольшее значение площади прямоугольника, вписанного в подграфик функции 
б) Верно ли, что из всех прямоугольников, вписанных в подграфик функции 
наибольшую площадь имеет тот, высота которого вдвое меньше его ширины?
в) Пусть S — наибольшая площадь прямоугольника, вписанного в подграфик функции 
Докажите, что площадь вписанной в подграфик этой функции трапеции, основания которой параллельны оси ординат, меньше S.
г) Найдите все значения c, для которых наибольшая площадь прямоугольника, вписанного в подграфик функции 
равна πc.
Сразу отметим, что если вершины этого прямоугольника на графике функции имеют координаты 
и площадь прямоугольника равна 
Если же вершины лежат не на графике, а под ним, то можно немного приподнять их — пока одна из них не окажется на графике. Если при этом вторая не оказалась на графике, а оказалась ниже него — можно удлинить прямоугольник, сдвинув его вершину по горизонтали, пока она не окажется на графике. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать только такие прямоугольники, у которых две вершины на графике. Аналогично поступим и с трапециями — их основания можно увеличить, доведя до пересечения с графиком.
Кроме того, мы будем считать, что функция на промежутке всюду неотрицательна, иначе понятие ее подграфика в этой задаче несколько теряет смысл (если разрешить брать вершины прямоугольника в отрицательной области по ординате, то прямоугольник можно сделать какой угодно площади).
а) Очевидно 
— четная функция, определенная при условии 
то есть при
Кроме того, если 
то 
(при 
мы не получим двух различных точек). Итак, нас будет интересовать максимум функции
при 
Для этого найдем максимум выражения 
Его производная равна
что положительно при 
и отрицательно при 
Значит, максимальная площадь прямоугольника равна
б) Здесь —
возможно только при 
Значит, нас будет интересовать максимум функции
при 
На концах промежутка значения функции равны нулю. Возьмем ее производную
Приравнивая ее к нулю, получим 
Это уравнение имеет корни на указанном промежутке, поскольку обе части непрерывны, при 
левая часть больше правой, а при 
правая больше левой, значит, где-то между этими точками есть равенство. Но если бы высота была вдвое меньше ширины, то мы имели бы 
и, следовательно, 
Тогда 
что не соответствует условию 
Ответ — нет, неверно.
в) Пусть вершины этой трапеции — точки 
причем 
Тогда ее площадь равна
поскольку 
Обозначая 
получим 
Но максимальная площадь прямоугольника это максимум функции 
а не просто какое-то ее значение, поэтому площадь трапеции не может оказаться больше.
Если же они равны, то должно еще выполняться условие 
откуда 
Но тогда точки образуют прямоугольник, а не трапецию.
г) Здесь — возможно только при Значит, нас будет интересовать максимум функции
при При получим 0, при получим 
значит, нам нужно, чтобы в промежуточных точках не было значения больше. Возьмем производную
Очевидно эта производная убывает, поскольку x и 
положительны и возрастают. а 
убывает на указанном промежутке. Значит, она либо на всем промежутке положительна (тогда максимум функции будет при ведь функция возрастает), либо на всем промежутке отрицательна (тогда наибольшее значение при ), либо сначала положительна, а потом отрицательна (тогда у производной есть корень, ему соответствует точка максимума исходной функции и, значит, есть площадь, большая чем 
).
Нас устраивает лишь первая ситуация, а для нее должно выполняться условие — значение производной 
отсюда 
Ответ: а) 2; б) нет, неверно;