4.  Диа­го­наль пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна еди­ни­це. Обо­зна­чим: k₁, k₂  — от­но­ше­ния длин двух его ребер к тре­тье­му;   — пло­щадь по­верх­но­сти этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

а)  Вы­чис­ли­те

б)  До­ка­жи­те, что при

в)  Пусть Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние S.

г)  Пусть a  — дей­стви­тель­ный па­ра­метр. При каком зна­че­нии k₂ пло­щадь S наи­боль­шая?

5.  На­зо­вем рас­сто­я­ни­ем между точ­ка­ми по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да длину крат­чай­шей ло­ма­ной на его по­верх­но­сти, со­еди­ня­ю­щей эти точки. Пусть E и W  — про­ти­во­по­лож­ные вер­ши­ны па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

а)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между вер­ши­на­ми E и W еди­нич­но­го куба.

б)  При каких зна­че­ни­ях a и b рас­сто­я­ние между вер­ши­на­ми E и W пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да еди­нич­но­го объ­е­ма с дли­на­ми ребер a, a, b будет наи­мень­шим?

в)  До­ка­жи­те, что рас­сто­я­ние между лю­бы­ми па­ра­ми точек по­верх­но­сти еди­нич­но­го куба не пре­вос­хо­дит рас­сто­я­ния между точ­ка­ми E и W.

г)  Най­ди­те длины ребер пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да еди­нич­но­го объ­е­ма, рас­сто­я­ние между вер­ши­на­ми E и W ко­то­ро­го при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние.

4.  Пусть a, b, c  — длины не­ко­то­рых от­рез­ков.

а)  До­ка­жи­те, что если то тре­уголь­ник, ко­то­рый можно со­ста­вить из этих от­рез­ков, ост­ро­уголь­ный.

б)  Вы­яс­ни­те, су­ще­ству­ет ли тре­уголь­ник со сто­ро­на­ми

в)  До­ка­жи­те, что если для лю­бо­го на­ту­раль­но­го числа n су­ще­ству­ет тре­уголь­ник со сто­ро­на­ми a^n, b^n, c^n, то все эти тре­уголь­ни­ки рав­но­бед­рен­ные.

г)  Пусть   — угол тре­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми (), ле­жа­щий про­тив сред­ней из них. До­ка­жи­те, что по­сле­до­ва­тель­ность мо­но­тон­на, и вы­чис­ли­те ее пре­дел.

3Б. Будем счи­тать, что Земля имеет форму шара ра­ди­у­сом км. Из­вест­но, что ра­дио­вол­ны, на ко­то­рых ве­дет­ся те­ле­ве­ща­ние, рас­про­стра­ня­ют­ся по пря­мой. Пред­по­ло­жим, что те­ле­пе­ре­дат­чик рас­по­ло­жен на вы­со­те h от зем­ной по­верх­но­сти. Обо­зна­чим через рас­сто­я­ние по по­верх­но­сти Земли от ос­но­ва­ния те­ле­баш­ни (или от той точки Земли, ко­то­рая рас­по­ло­же­на ближе всего к ре­транс­ля­ци­он­но­му спут­ни­ку) до самой даль­ней точки, в ко­то­рой воз­мо­жен прием те­ле­пе­ре­да­чи.

а)  Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние h, при ко­то­ром прием воз­мо­жен во всех точ­ках не­ко­то­ро­го ме­ри­ди­а­на се­вер­нее ю. ш. и южнее с. ш., если спут­ник висит над эк­ва­то­ром?

б)  До­ка­жи­те, что

в)  Пред­по­ло­жим, что пе­ре­дат­чик раз­ме­щен на Луне (т. е. на рас­сто­я­нии 400 000 км от цен­тра Земли). По­ка­жи­те, что в этом слу­чае мень­ше чет­вер­ти длины эк­ва­то­ра по край­ней мере на 100 км.

г)  Для того, чтобы обес­пе­чить связь между двумя пунк­та­ми, рас­по­ло­жен­ны­ми на рас­сто­я­нии 1600 км друг от друга, ре­ше­но по­стро­ить ра­дио­ре­лей­ную линию. До­ка­жи­те, что если вы­со­та мачт этой линии равна 31,25 метра, то по­тре­бу­ют­ся не менее 41 таких мачт.

Будем го­во­рить, что пря­мо­уголь­ник (тра­пе­ция) впи­сан в под­гра­фик функ­ции f, если одна из его (её) сто­рон лежит на оси абс­цисс, а две вер­ши­ны  — на под­гра­фи­ке этой функ­ции.

а)  Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние пло­ща­ди пря­мо­уголь­ни­ка, впи­сан­но­го в под­гра­фик функ­ции

б)  Верно ли, что из всех пря­мо­уголь­ни­ков, впи­сан­ных в под­гра­фик функ­ции наи­боль­шую пло­щадь имеет тот, вы­со­та ко­то­ро­го вдвое мень­ше его ши­ри­ны?

в)  Пусть S  — наи­боль­шая пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, впи­сан­но­го в под­гра­фик функ­ции До­ка­жи­те, что пло­щадь впи­сан­ной в под­гра­фик этой функ­ции тра­пе­ции, ос­но­ва­ния ко­то­рой па­рал­лель­ны оси ор­ди­нат, мень­ше S.

г)  Най­ди­те все зна­че­ния c, для ко­то­рых наи­боль­шая пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, впи­сан­но­го в под­гра­фик функ­ции равна πc.