5. Назовем расстоянием между точками поверхности параллелепипеда длину кратчайшей ломаной на его поверхности, соединяющей эти точки. Пусть E и W — противоположные вершины параллелепипеда.
а) Найдите расстояние между вершинами E и W единичного куба.
б) При каких значениях a и b расстояние между вершинами E и W прямоугольного параллелепипеда единичного объема с длинами ребер a, a, b будет наименьшим?
в) Докажите, что расстояние между любыми парами точек поверхности единичного куба не превосходит расстояния между точками E и W.
г) Найдите длины ребер прямоугольного параллелепипеда единичного объема, расстояние между вершинами E и W которого принимает наименьшее значение.
а) Решение — на рисунке, кратчайший путь можно искать среди путей на развертке куба (см. рис).
и 
(см. пункт г)).
в) Если A и B лежат на соседних гранях, то расстояние между ними 
г) Точки E и W можно соединить тремя путями, длины di которых равны, соответственно, 
и 
(см. рис.), а образы путей которых на развертках параллелепипеда являются отрезками. Поскольку 
и 
то
причем 
если 
и 
то есть 
и 
Осталось заметить, что в этом случае 
и 
Ответ: а) 5; 
и 
а 