5.  По­сле­до­ва­тель­ность за­да­на ре­кур­рент­но: при всех

а)  До­ка­жи­те, что если a  — целое, то x_n  — не­чет­ное число при всех

б)  Вы­яс­ни­те, при каком зна­че­нии a по­сле­до­ва­тель­ность яв­ля­ет­ся ста­ци­о­нар­ной.

в)  Вы­яс­ни­те, при каких зна­че­ни­ях a по­сле­до­ва­тель­ность яв­ля­ет­ся гео­мет­ри­че­ской про­грес­си­ей.

г)  Пусть До­ка­жи­те, что по­сле­до­ва­тель­ность не имеет пре­де­ла.

3.  По­сле­до­ва­тель­ность за­да­на фор­му­лой а

а)  До­ка­жи­те, что если то дан­ная по­сле­до­ва­тель­ность мо­но­тон­на.

б)  До­ка­жи­те, что если то при всех на­ту­раль­ных n верно не­ра­вен­ство

в)  До­ка­жи­те, что если по­сле­до­ва­тель­ность схо­дя­ща­я­ся, то она стре­мит­ся к нулю.

г)  До­ка­жи­те, что если число c ра­ци­о­наль­но, то эта по­сле­до­ва­тель­ность не имеет ко­неч­но­го пре­де­ла.

5.  Числа где n, k  — целые не­от­ри­ца­тель­ные, опре­де­ле­ны ра­вен­ства­ми

при

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние

в)  До­ка­жи­те, что для любых на­ту­раль­ных чисел p и n верно тож­де­ство

г)  До­ка­жи­те, что сов­па­да­ет с чис­лом таких пе­ре­ста­но­вок чисел для ко­то­рых не­ра­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся ровно для k зна­че­ний

3.  Дана по­сле­до­ва­тель­ность где

а)  До­ка­жи­те, что при всех вы­пол­не­ны не­ра­вен­ства

б)  До­ка­жи­те, что по­сле­до­ва­тель­ность убы­ва­ет, и вы­чис­ли­те пре­дел

в)  Пусть До­ка­жи­те, что все числа a_n, ир­ра­ци­о­наль­ные.

г)  Пусть До­ка­жи­те, что

3А. По­сле­до­ва­тель­ность за­да­на со­от­но­ше­ни­я­ми

а)  Най­ди­те все c, при ко­то­рых

б)  До­ка­жи­те, что если то эта по­сле­до­ва­тель­ность мо­но­тон­на.

в)  Най­ди­те все не­по­сто­ян­ные ко­неч­ные ариф­ме­ти­че­ские про­грес­сии, об­ра­зо­ван­ные по­сле­до­ва­тель­ны­ми чле­на­ми ука­зан­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти.

г)  До­ка­жи­те, что су­ще­ству­ют по­сле­до­ва­тель­но­сти дан­но­го вида, име­ю­щие сколь угод­но боль­шой пе­ри­од.

3Б. Рас­смат­ри­ва­ют­ся по­сле­до­ва­тель­но­сти для ко­то­рых

а)  Пусть Вы­чис­ли­те

б)  До­ка­жи­те, что если то по­сле­до­ва­тель­ность мо­но­тон­на.

в)  Най­ди­те мно­же­ство всех чисел, ко­то­рые не могут яв­лять­ся на­чаль­ны­ми чле­на­ми таких (бес­ко­неч­ных) по­сле­до­ва­тель­но­стей.

г)  Най­ди­те мно­же­ство на­чаль­ных чле­нов мо­но­тон­ных по­сле­до­ва­тель­но­стей

31 де­каб­ря 2001 года некто по­ло­жил в банк 100 000 руб­лей из рас­че­та 10% го­до­вых. Для про­сто­ты будем пред­по­ла­гать, что при всех опе­ра­ци­ях по вкла­ду округ­ле­ния не про­из­во­дят­ся.

а)  Опре­де­ли­те наи­боль­шую сумму, ко­то­рую можно еже­год­но 1 ян­ва­ря (на­чи­ная уже с 2002 года) сни­мать с этого счета, с тем, чтобы некто мог им поль­зо­вать­ся не­огра­ни­чен­но долго.

б)  Может ли быть, чтобы доход от этого вкла­да за не­ко­то­рые k по­сле­до­ва­тель­ных лет был равен до­хо­ду от него за n по­сле­ду­ю­щих лет? (День­ги со счета в те­че­ние всех этих лет не сни­ма­ют­ся.)

в)  Некто решил еже­год­но 1 ян­ва­ря (на­чи­ная с 2002 года) сни­мать со счета 9200 руб­лей. Смо­жет ли он поль­зо­вать­ся этим сче­том в те­че­ние 47 лет под­ряд? (В вы­чис­ле­ни­ях вам, воз­мож­но, при­дет­ся ис­поль­зо­вать сле­ду­ю­щие при­бли­жен­ные зна­че­ния ло­га­риф­мов и

г)  1 ян­ва­ря 2002 года некто за­клю­чил с бан­ком новый до­го­вор, со­глас­но ко­то­ро­му он обя­зу­ет­ся не сни­мать день­ги со счета в те­че­ние 5 лет, а вме­сто обыч­ных 10% го­до­вых по его счету будут на­чис­лять­ся в день. Можно ли утвер­ждать, что на этом счету через 5 лет будет бóльшая сумма, чем если бы эти день­ги ле­жа­ли на преж­них усло­ви­ях?