3. Последовательность 
задана формулой 
а 
а) Докажите, что если 
то данная последовательность монотонна.
б) Докажите, что если 
то при всех натуральных n верно неравенство 
в) Докажите, что если последовательность сходящаяся, то она стремится к нулю.
г) Докажите, что если число c рационально, то эта последовательность не имеет конечного предела.
а) Так как 
то 
и 
следовательно, 
Нетрудно доказать по индукции, что 
Неравенство 
имеет вид 
или 
что верно.
б) Если 
то 
далее, 
Если неравенство 
верно, то 
значит, 
при всех натуральных n. Наконец,
в) Преобразуя данное рекуррентное соотношение, получаем 
поэтому, если 
то 
значит, 
г) Пусть 
тогда 
xq — целое и, более того, все члены xn, где 
также являются целыми. Так как 
то 
при всех следовательно, данная последовательность не является сходящейся.