Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2033
i

3.  Дана по­сле­до­ва­тель­ность левая фи­гур­ная скоб­ка a_n пра­вая фи­гур­ная скоб­ка _n=1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка , где

a_n плюс 1= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 минус a_n в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та , a_1=c боль­ше 0.

а)  До­ка­жи­те, что при всех n при­над­ле­жит \Bbb N вы­пол­не­ны не­ра­вен­ства ко­рень из 2 \leqslant}\dfraca_na_n плюс 1\leqslant}2.

б)  До­ка­жи­те, что по­сле­до­ва­тель­ность левая фи­гур­ная скоб­ка a_n пра­вая фи­гур­ная скоб­ка убы­ва­ет, и вы­чис­ли­те пре­дел \lim\limits_n\to бес­ко­неч­ность a_n.

в)  Пусть c=1. До­ка­жи­те, что все числа an, n\geqslant}2, ир­ра­ци­о­наль­ные.

г)  Пусть c=2. До­ка­жи­те, что \lim\limits_n\to бес­ко­неч­ность 2 в сте­пе­ни n a_n=2 Пи .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­жде чем из­ла­гать фор­маль­ное (и очень про­стое) ре­ше­ние этой за­да­чи, за­ме­тим, что дан­ное в ее усло­вии ре­кур­рент­ное со­от­но­ше­ние имеет ясный гео­мет­ри­че­ский смысл. Имен­но: a_n плюс 1 есть длина хорды еди­нич­ной окруж­но­сти, опи­ра­ю­щей­ся на дугу вдвое мень­шей длины, чем та, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся хорда дли­ной an. Из этого на­блю­де­ния сразу виден смысл утвер­жде­ния пунк­та г)!

а)  Дей­стви­тель­но,

дробь: чис­ли­тель: a_n, зна­ме­на­тель: a_n плюс 1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: a_n, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 минус a в квад­ра­те _n конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 минус a в квад­ра­те _n конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та .

Оста­лось за­ме­тить, что ко­рень из 2 \leqslant} ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 минус a в квад­ра­те _n конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та \leqslant}2.

б)  Так как дробь: чис­ли­тель: a_n, зна­ме­на­тель: a_n плюс 1 конец дроби боль­ше 1, то a_n плюс 1 мень­ше a_n, более того,

a_n плюс 1 мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби ко­рень из 2 a_n мень­ше \ldots мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби левая круг­лая скоб­ка ко­рень из 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни n c \undersetn\to бес­ко­неч­ность \to\to0.

в)  Если a в квад­ра­те _n плюс 1 при­над­ле­жит \Bbb Q, то a в квад­ра­те _n при­над­ле­жит \Bbb Q, но a в квад­ра­те _2=2 минус ко­рень из 3 \notin\Bbb Q.

г)  Если c=2, то a_1=2 синус дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i2, не­труд­но до­ка­зать по ин­дук­ции, что a_n=2 синус дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i2 в сте­пе­ни n , зна­чит,

2 в сте­пе­ни n a_n=2 Пи \dfrac синус дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i2 в сте­пе­ни n дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i2 в сте­пе­ни n \undersetn\to бес­ко­неч­ность \to\to2 Пи .

Ответ: б) \lim\limits_n\to бес­ко­неч­ность a_n=0.

? Источники:
? Классификатор: До­ка­за­тель­ство тож­деств, не­ра­венств, Про­грес­сии
?
Сложность: 11 из 10
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025