31 декабря 2001 года некто положил в банк
а) Определите наибольшую сумму, которую можно ежегодно 1 января (начиная уже с 2002 года) снимать с этого счета, с тем, чтобы некто мог им пользоваться неограниченно долго.
б) Может ли быть, чтобы доход от этого вклада за некоторые k последовательных лет был равен доходу от него за n последующих лет? (Деньги со счета в течение всех этих лет не снимаются.)
в) Некто решил ежегодно 1 января (начиная с 2002 года) снимать со счета 9200 рублей. Сможет ли он пользоваться этим счетом в течение 47 лет подряд? (В вычислениях вам, возможно, придется использовать следующие приближенные значения логарифмов 
и 
г) 1 января 2002 года некто заключил с банком новый договор, согласно которому он обязуется не снимать деньги со счета в течение 5 лет, а вместо обычных 10% годовых по его счету будут начисляться 
в день. Можно ли утверждать, что на этом счету через 5 лет будет бóльшая сумма, чем если бы эти деньги лежали на прежних условиях?
Всюду в дальнейшем q = 1,1.
а) Нетрудно подсчитать, что если изначально на счету лежало S рублей, то для того, чтобы n лет подряд некто смог снимать по x рублей, должно быть верно неравенство
Нетрудно видеть, что выражение, стоящее в правой части полученного неравенства, растёт с ростом n. Поэтому для того, чтобы некто мог снимать по x рублей неограниченно долго время, необходимо и достаточно, чтобы x не превосходило предела этого выражения, который равен 
б) Если бы число x = 1,1 являлось корнем уравнения 
то было бы верно равенство 
что невозможно, так как его правая часть не делится на 11.
в) Используя результаты вычислений, проведённых в п. а, получим, что число n лет, в течение которых можно ежегодно снимать со счёта по 9200 рублей, должно удовлетворять неравенству
Используя данные значения логарифмов, получаем, что 
г) Если ставка начислений равна α% в день, то в год это составляет
Таким образом, поставленный вопрос состоит в том, что больше, 0,1 или 
Имеем:
Покажем, что 
при x = 0,05, откуда и будет следовать ответ. В действительности при 
Поскольку обе части неравенства совпадают при x = 0, производная левой части при x = 0 меньше производной правой и функция 
выпукла, то достаточно проверить неравенство e − 1 < 2, которое верно.
Ответ: а) 
рублей 90 копеек;
Задание парного варианта: 1743