4. Производная, интеграл
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
5. Дана функция 
и точка 
а) Найдите координаты точек касания с графиком данной функции тех касательных, которые проходят через точку B.
б) Пусть A — точка касания, у которой меньшая абсцисса, а C — точка на графике с абсциссой 
Найдите площадь S треугольника ABC.
в) Обозначим через s площадь криволинейного треугольника, ограниченного отрезками BC, AB и дугой AC графика данной функции. Покажите, что 
г) Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение для произвольной точки B подграфика данной функции.
Эта прямая проходит через точку 
тогда и только тогда, когда 
откуда 
лежит на касательной к графику, проведенной в точке 
поэтому 
Далее, 
4. Дана функция 
Точки пересечения прямой 
с графиком функции f и осью абсцисс обозначаются соответственно 
и 
касательная к графику в точке обозначается 
а) Докажите, что площадь фигуры, ограниченной графиком функции f, осью абсцисс и прямой 
б) Пусть C — точка пересечения прямой 
с осью абсцисс. Найдите отношение площадей криволинейного треугольника AOC и прямолинейного ABC.
в) Пусть M и N — точки графика функции f, такие, что прямая MN параллельна 
Докажите, что площадь фигуры, ограниченной прямой MN, осью абсцисс и перпендикулярами к ней из точек M и N, не превосходит 32.
г) Пусть 
—
такая, что 
и при любом 
площадь фигуры, ограниченной графиком функции f, осями координат и прямой равна 
Докажите, что 
то 
и 
а площадь s криволинейного треугольника AOC равна 
Площадь фигуры (трапеции) равна
наибольшая при 
откуда 
и 
Иначе: 
поэтому g дифференцируема. Значит, продифференцировав данное равенство, получим, что 
откуда 
Таким образом,
По условию 
значит, 
и 
Дана функция 
а) Докажите, что фигуры, ограниченные отрезками горизонтальных касательных к графику функции f и дугами этого графика между точками его пересечения с касательными, имеют равные площади.
б) Докажите, что график функции f симметричен относительно точки 
в) Докажите, что прямая, касающаяся графика функции f в точке с абсциссой 
не равной двум, пересечет этот график еще в одной точке. Найдите абсциссу этой точки.
г) Докажите, что прямая, пересекающая график функции f в трех точках, одна из которых является серединой отрезка между двумя другими, проходит через точку A.
и 
— и точки их пересечения с графиком — 
и 
Площади, о которых идет речь, равны, соответственно, интегралам 
и 
Вычислив их, получим одно и то же значение, а именно 
— некоторая точка графика. Точка, симметричная ей относительно 
имеет координаты 
и лежит на графике данной функции, если 
что проверяется непосредственно.
— линейная функция, график которой — данная касательная к графику функции f. Стандартные вычисления показывают, что 
это можно сделать непосредственно.
имеет своим корнем 
получим квадратное уравнение 
и 
абсциссы которых равны, соответственно, 
и 
Считаем для определенности 
и предположим, что 
Проведем через точку A прямую, параллельную LM (см. рис), пусть 
и c — абсциссы точек ее пересечения с графиком, 
Предположим для определенности, что прямая LM лежит выше AB. Кажется очевидным (и попробуйте это аккуратно доказать), что 
следовательно, 
Попробуйте выяснить, достаточно ли потребовать непрерывности функции f и того, что всякая прямая пересекает ее график не более чем в трех точках.
Получим график функции 
пересекает график f в точках с абсциссами 
то поскольку эти числа являются корнями уравнения 
то 
Если точка с абсциссой 
— середина отрезка, соединяющего две другие, то 
значит, 
и 
Утверждение 3г доказано. Далее, если прямая 
касается графика в точке с абсциссой 
(см. решение задачи 2в варианта 1). Приравняв коэффициенты в обеих частях этого равенства, получим, что 
и 
так что 
по формулам Виета, однако в этом случае требуется дополнительный разговор, связанный с понятием кратного корня.3. Дана функция 
а) Найдите все такие a, при которых функция f монотонна на луче 
б) Пусть 
Найдите уравнения касательных к графику данной функции, проходящих через точку 
в) Пусть Найдите все точки оси абсцисс, через которые проходит ровно одна касательная к графику
г) Найдите (при произвольном 
) такое значение при котором фигура, ограниченная прямой, касающейся графика функции f в точке с абсциссой самим этим графиком и прямыми 
имеет наименьшую площадь.
на луче 
то 
в уравнение 
после небольших преобразований приходим к уравнению 
откуда 
графика проходит через точку 
если 
входит в искомое множество, если полученное уравнение имеет одно решение. Удобно сделать замену 
приводящую к квадратному уравнению 
Оно имеет единственное положительное решение, если 
Если 
то его решение единственно, однако при 
оно отрицательно. Исследование квадратного уравнения можно провести по-другому, записав его в виде 
и построив график 
при 
(см. рис). 
— точка минимума функции S.
и 
5. Дана функция 
прямая 
заданная уравнением 
и точка 
а) Найдите все значения a, при которых прямая 
касается графика функции f.
б) Пусть P и Q — точки касания прямой с графиками 
(при найденных в предыдущем пункте значениях a). Вычислите площадь криволинейного треугольника, ограниченного отрезком PQ и дугами AP, AQ этих графиков.
в) Пусть 
Найдите точку графика функции f, ближайшую к точке 
г) Найдите наименьшее значение площади сегмента, ограниченного графиком функции f и осью абсцисс.
имеет одно решение, откуда и следует ответ.
— расстояние от точки графика с абсциссой x до данной точки M. Тогда 
и 
— точка, в которой достигается наименьшее значение этой функции. 
) абсциссы точек пересечения графика функции f с осью абсцисс (см. рис.). Площадь S сегмента вычисляется по формуле
(при 
).Пройти тестирование по этим заданиям