Дана функция 
а) Докажите, что фигуры, ограниченные отрезками горизонтальных касательных к графику функции f и дугами этого графика между точками его пересечения с касательными, имеют равные площади.
б) Докажите, что график функции f симметричен относительно точки 
в) Докажите, что прямая, касающаяся графика функции f в точке с абсциссой 
не равной двум, пересечет этот график еще в одной точке. Найдите абсциссу этой точки.
г) Докажите, что прямая, пересекающая график функции f в трех точках, одна из которых является серединой отрезка между двумя другими, проходит через точку A.
Рассмотрим вначале стандартные решения.
а) Нетрудно построить график данной функции (см. рис), найти ее горизонтальные касательные — 
и 
— и точки их пересечения с графиком — 
и 
Площади, о которых идет речь, равны, соответственно, интегралам 
и 
Вычислив их, получим одно и то же значение, а именно 
б) Пусть 
— некоторая точка графика. Точка, симметричная ей относительно 
имеет координаты 
и лежит на графике данной функции, если 
что проверяется непосредственно.
в) Скажем сразу, что формулировка данного пункта несколько неудачна, поскольку учащиеся могли сделать прямую проверку. Пусть 
— линейная функция, график которой — данная касательная к графику функции f. Стандартные вычисления показывают, что
осталось проверить, что 
это можно сделать непосредственно.
Более интересна формулировка, в которой предлагается найти вторую точку пересечения касательной и графика данной кубической функции. Приведем решение, представляющееся автору стандартным.
Уравнение 
имеет своим корнем далее, разделив на 
получим квадратное уравнение
корнями которого являются 
и 
г) Заметим прежде всего, что требуемое утверждение не вытекает только из симметричности графика относительно некоторой его точки, что видно из рисунка. Поэтому строгое рассуждение должно использовать и другие свойства функции f.
Итак, пусть некоторая прямая пересекает график f в точках 
абсциссы которых равны, соответственно, 
и 
Считаем для определенности 
и предположим, что 
Проведем через точку A прямую, параллельную LM (см. рис), пусть 
и c — абсциссы точек ее пересечения с графиком, 
Предположим для определенности, что прямая LM лежит выше AB. Кажется очевидным (и попробуйте это аккуратно доказать), что 
следовательно, 
Попробуйте выяснить, достаточно ли потребовать непрерывности функции f и того, что всякая прямая пересекает ее график не более чем в трех точках.
Приведем также рассуждения, которые, по мнению автора, являются более изящными.
Ясно, что утверждение 3a следует из 3б, для доказательства которого осуществим параллельный перенос графика функции f на вектор 
Получим график функции
Поскольку эта функция нечетна, ее график симметричен относительно начала координат, а значит, график исходной функции симметричен относительно A.
Для решения задач 3в и 3г используем формулы Виета. Если прямая 
пересекает график f в точках с абсциссами 
то поскольку эти числа являются корнями уравнения 
то 
Если точка с абсциссой 
— середина отрезка, соединяющего две другие, то 
значит, 
и 
Утверждение 3г доказано. Далее, если прямая 
касается графика в точке с абсциссой то 
(см. решение задачи 2в варианта 1). Приравняв коэффициенты в обеих частях этого равенства, получим, что 
Конечно, проще было бы сказать, что корнями являются числа 
и 
так что 
по формулам Виета, однако в этом случае требуется дополнительный разговор, связанный с понятием кратного корня.