Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2016

3. Дана функция f(x)=ax минус 2 корень из (x плюс 1) , a больше 0.

а) Найдите все такие a, при которых функция f монотонна на луче [0; плюс принадлежит fty).

б) Пусть a=1. Найдите уравнения касательных к графику данной функции, проходящих через точку A(5, 0).

в) Пусть a=1. Найдите все точки оси абсцисс, через которые проходит ровно одна касательная к графику функции f.

г) Найдите (при произвольном a больше 0) такое значение x_0, при котором фигура, ограниченная прямой, касающейся графика функции f в точке с абсциссой x_0, самим этим графиком и прямыми x= минус 1, x=2, имеет наименьшую площадь.

Спрятать решение

Решение.

а) Поскольку f'(x)=a минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из (x плюс 1) \geqslant} 0 на луче [0; плюс принадлежит fty], то a\geqslant}\underset [0; плюс принадлежит fty)\to \max дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из (x плюс 1) =1.

б) Подставив y=0, x=5 в уравнение y минус f(t)=f'(t)(x минус t), после небольших преобразований приходим к уравнению 5 корень из (t плюс 1) =t плюс 7, откуда t = 3; 8.

в) Касательная в точке (t, f(t)) графика проходит через точку (u, 0), если

0=( корень из (t плюс 1) минус 1)(u минус t) плюс t корень из (t плюс 1) минус 2t минус 2 равносильно u корень из (t плюс 1) минус u минус 2 минус t=0.

Таким образом, точка (u, 0) входит в искомое множество, если полученное уравнение имеет одно решение. Удобно сделать замену z= корень из (t плюс 1) \geqslant} 0, приводящую к квадратному уравнению z в квадрате минус uz плюс u плюс 1=0. Оно имеет единственное положительное решение, если u плюс 1 меньше 0. Если u в квадрате минус 4(u плюс 1)=0, т. е. u=2\pm 2 корень из 2 , то его решение единственно, однако при u=2 минус 2 корень из 2 оно отрицательно. Исследование квадратного уравнения можно провести по-другому, записав его в виде u= дробь: числитель: z в квадрате плюс 1, знаменатель: z минус 1 конец дроби и построив график y= дробь: числитель: z в квадрате плюс 1, знаменатель: z минус 1 конец дроби при z\geqslant} 0 (см. рис).

Заметим, наконец, что сам ответ понятен из геометрических соображений, если мы посмотрим на график данной функции (см. рис).

г) Интересно, что вычисления проще проводить для произвольной выпуклой функции f. Площадь заштрихованной на рисунке фигуры определяется по формуле

S(t)= принадлежит t\limits_a в степени b f(x)dx минус (b минус a) левая круглая скобка f(t) минус tf'(t) плюс f'(t) дробь: числитель: a плюс b, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ,

так что

S'(t)=(b минус a) левая круглая скобка f'(t) минус f'(t) минус tf''(t) плюс f''(t) дробь: числитель: a плюс b, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =(b минус a)f''(t) левая круглая скобка дробь: числитель: a плюс b, знаменатель: 2 конец дроби минус t правая круглая скобка ,

откуда и следует, что t= дробь: числитель: a плюс b, знаменатель: 2 конец дроби  — точка минимума функции S.

 

Ответ: а)  левая квадратная скобка 1; 0 правая круглая скобка ; б) y= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби (x минус 5) и y= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби (x минус 5); в) ( минус принадлежит fty; минус 1)\cup\2 плюс 2 корень из 2 \; г) x_0= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1994 год, вариант 1
? Классификатор: Иррациональные неравенства, Иррациональные уравнения и их системы, Уравнения с параметром
?
Сложность: 11 из 10