5.  Дана функ­ция и точка

а)  Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты точек ка­са­ния с гра­фи­ком дан­ной функ­ции тех ка­са­тель­ных, ко­то­рые про­хо­дят через точку B.

б)  Пусть A  — точка ка­са­ния, у ко­то­рой мень­шая абс­цис­са, а C  — точка на гра­фи­ке с абс­цис­сой Най­ди­те пло­щадь S тре­уголь­ни­ка ABC.

в)  Обо­зна­чим через s пло­щадь кри­во­ли­ней­но­го тре­уголь­ни­ка, огра­ни­чен­но­го от­рез­ка­ми BC, AB и дугой AC гра­фи­ка дан­ной функ­ции. По­ка­жи­те, что

г)  Сфор­му­ли­руй­те и до­ка­жи­те ана­ло­гич­ное утвер­жде­ние для про­из­воль­ной точки B под­гра­фи­ка дан­ной функ­ции.

4.  Дана функ­ция Точки пе­ре­се­че­ния пря­мой с гра­фи­ком функ­ции f и осью абс­цисс обо­зна­ча­ют­ся со­от­вет­ствен­но и ка­са­тель­ная к гра­фи­ку в точке обо­зна­ча­ет­ся

а)  До­ка­жи­те, что пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной гра­фи­ком функ­ции f, осью абс­цисс и пря­мой равна

б)  Пусть C  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мой с осью абс­цисс. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей кри­во­ли­ней­но­го тре­уголь­ни­ка AOC и пря­мо­ли­ней­но­го ABC.

в)  Пусть M и N  — точки гра­фи­ка функ­ции f, такие, что пря­мая MN па­рал­лель­на До­ка­жи­те, что пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной пря­мой MN, осью абс­цисс и пер­пен­ди­ку­ля­ра­ми к ней из точек M и N, не пре­вос­хо­дит 32.

г)  Пусть   — не­пре­рыв­ная не­от­ри­ца­тель­ная функ­ция, опре­де­лен­ная на такая, что и при любом пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной гра­фи­ком функ­ции f, осями ко­ор­ди­нат и пря­мой равна До­ка­жи­те, что

Дана функ­ция

а)  До­ка­жи­те, что фи­гу­ры, огра­ни­чен­ные от­рез­ка­ми го­ри­зон­таль­ных ка­са­тель­ных к гра­фи­ку функ­ции f и ду­га­ми этого гра­фи­ка между точ­ка­ми его пе­ре­се­че­ния с ка­са­тель­ны­ми, имеют рав­ные пло­ща­ди.

б)  До­ка­жи­те, что гра­фик функ­ции f сим­мет­ри­чен от­но­си­тель­но точки

в)  До­ка­жи­те, что пря­мая, ка­са­ю­ща­я­ся гра­фи­ка функ­ции f в точке с абс­цис­сой не рав­ной двум, пе­ре­се­чет этот гра­фик еще в одной точке. Най­ди­те абс­цис­су этой точки.

г)  До­ка­жи­те, что пря­мая, пе­ре­се­ка­ю­щая гра­фик функ­ции f в трех точ­ках, одна из ко­то­рых яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ка между двумя дру­ги­ми, про­хо­дит через точку A.

3.  Дана функ­ция

а)  Най­ди­те все такие a, при ко­то­рых функ­ция f мо­но­тон­на на луче

б)  Пусть Най­ди­те урав­не­ния ка­са­тель­ных к гра­фи­ку дан­ной функ­ции, про­хо­дя­щих через точку

в)  Пусть Най­ди­те все точки оси абс­цисс, через ко­то­рые про­хо­дит ровно одна ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции f.

г)  Най­ди­те (при про­из­воль­ном ) такое зна­че­ние при ко­то­ром фи­гу­ра, огра­ни­чен­ная пря­мой, ка­са­ю­щей­ся гра­фи­ка функ­ции f в точке с абс­цис­сой самим этим гра­фи­ком и пря­мы­ми имеет наи­мень­шую пло­щадь.

5.  Дана функ­ция пря­мая за­дан­ная урав­не­ни­ем и точка

а)  Най­ди­те все зна­че­ния a, при ко­то­рых пря­мая ка­са­ет­ся гра­фи­ка функ­ции f.

б)  Пусть P и Q  — точки ка­са­ния пря­мой с гра­фи­ка­ми (при най­ден­ных в преды­ду­щем пунк­те зна­че­ни­ях a). Вы­чис­ли­те пло­щадь кри­во­ли­ней­но­го тре­уголь­ни­ка, огра­ни­чен­но­го от­рез­ком PQ и ду­га­ми AP, AQ этих гра­фи­ков.

в)  Пусть Най­ди­те точку гра­фи­ка функ­ции f, бли­жай­шую к точке

г)  Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние пло­ща­ди сег­мен­та, огра­ни­чен­но­го гра­фи­ком функ­ции f и осью абс­цисс.