PDF-версии: 
3А. Дана функция 
а) Напишите уравнение касательной l к графику функции f в точке с абсциссой 7.
б) Найдите наименьшее и наибольшее значение функции f на отрезке 
в) Постройте график функции f на отрезке 
г) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f, касательной l и осью абсцисс.
Решение. а) Возьмем производную исходной функции.
При 
получаем 
и 
поэтому уравнение касательной имеет вид:
б) Решим уравнение:
Ясно, что при 
получим 
откуда 
и 
значит, 
возрастает при и аналогично убывает при 
поэтому ее наименьшее значение это 
а наибольшее либо 
либо 
Получаем, что наибольшее значение 
а наименьшее 
в) Продолжим исследовать функцию. Мы уже знаем, что она возрастает на
и знаем, что поэтому других корней у нее нет. Она определена при всех 
непрерывна, асимптот не имеет. Осталось исследовать выпуклость:
значит, функция принимает все значения из промежутка 
г) Касательная пересекает ось в такой точке, где 
то есть 
откуда 
Поскольку функция выпукла вниз, касательная лежит ниже графика функции. Значит, область ограничена сверху графиком функции, а снизу на промежутке 
осью абсцисс, а на промежутке 
— касательной. Опустим на ось перпендикуляр из точки 
Под касательной образуется прямоугольный треугольник с катетами 4 и 
поэтому его площадь равна 
Посчитаем теперь площадь под графиком функции и вычтем площадь треугольника.
Ответ: а) 
б) -2,25 и 0 в) см. рис., г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) -2,25 и 0 в) см. рис., г) б) -2,25 и 0 в) см. рис., г) 
в двух различных точках.
— парабола с вершиной при 
(эта точка не лежит в области 
— парабола с вершиной при 
При 
можно пользоваться любой из формул, 
Теперь можно построить график.
на отрезке от 3 до 5 состоит из площадей двух равнобедренных прямоугольных треугольников с катетом 1, поэтому 
тогда уравнения 
и 
должны иметь по одному корню. Значит, дискриминанты уравнений 
и 
должны быть нулями. Получаем:
Тогда из первого уравнения, 
и имеет корень 
Второе уравнение превратится в 
и имеет корень 
в) 
г) 
график которой проходит через точку 
касательной к графику функции 
осью абсцисс и прямыми l и 
поэтому все ее первообразные имеют вид 
точку 
Получим 
откуда 
Итак, это 
и является четной функцией. При 
откуда 
— вертикальная асимптота. Горизонтальных и наклонных асимптот нет, поскольку при больших x функция ведет себя примерно как квадратичная функция 
Ясно, что 
так что корней у функции нет.
при 
и 
при 
Значит, функция возрастает при 
и 
и убывает при 
и 
Функция имеет минимум при 
и при 
является касательной, то производная в точке касания равна −15. Решим уравнение 
Напишем уравнение касательной в точке 
Сошлось.
Значит, область ограничена сверху графиком функции (функция выпукла вниз, поэтому ее график лежит выше касательной), а снизу — касательной при 
и осью абсцисс при 
Опустим из точки 
перпендикуляр на ось абсцисс. Получим прямоугольный треугольник с катетами 
и 
площадь которого равна 
Добавим к фигуре этот треугольник и вычтем потом его площадь из ответа. Тогда получаем
б) см. рис.; в) да, является, в точке с абсциссой 
г) 
такими, что 
Выясните, при каких значениях параметра a вероятность того, что выбираются числа, удовлетворяющие условию 
равна 0,5.
и 
то есть при 
то есть 
и отрицателен при 
Значит, функция возрастает при 
и убывает при 
при всех 
поскольку 
Поэтому неравенство 
равносильно условию 
Мы уже почти все нужно для построения графика узнали, осталось только вычислить значение в точке максимума 
и исследовать выпуклость. Возьмем вторую производную:
равносильно тому, что y лежит на отрезке между a и 
но неизвестно, какой из концов меньший. Можно считать, что мы выбираем точку с координатами 
в квадрате 
Площадь этого квадрата 16, поэтому площадь фигуры, описываемой условием 
площадь получается 
Если уменьшать a, то к площади будет добавляться прямоугольник с горизонтальной стороной 4. Нам надо добавить 
значит, его вертикальная сторона должна быть 
и 
Если же увеличивать a, то нам будут подходить некоторые точки области 
(см рисунок). Однако вся эта область - прямоугольник площади 4, поэтому его часть не может дать фигуру площади 8.
функция возрастает; на 
— убывает; б) см. рис.; в) 
г) 
для 
при 
и на луче 
убывает на промежутке 
и на промежутке 
равна интегралу 
Но эта площадь заведомо меньше площади прямоугольника, образованного прямыми 
Но эта площадь равна 
при 
если 
или 
Исследуем функцию g на луче 
и возрастает на луче 
то наименьшее значение функции g равно 
криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f и прямыми 
криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f и прямыми 
например, для 
Заметим, что для всех 
и для любого 
поэтому ясно, что 
площади соответствующих криволинейных трапеций больше, чем 
Таким образом, остается найти значение этого интеграла. 
б) см. рис.; г) 
Определите вероятность того, что уравнение 
имеет корень из отрезка 
и отрицательно при 
Значит, функция возрастает на отрезке 
и убывает на отрезке 
поэтому ее наименьшее значение равно 
имеет вид 
то есть 
откуда 
имеет вид 
(касательная горизонтальна, поскольку 
имеет вид 
пересекаются в точке 
Прямая 
в первой четверти только при 
). Наконец, решим уравнение 
(это ведь касательная в точке 
Выделим его
и что функция 
а 
— прямой 
а на отрезке 
— линией 
Проведем вертикальный отрезок от точки 
до точки 
Он отсечет от области прямоугольный треугольник площади 
Значит, вся площадь равна
проходят через точку 
функции 
точка пересечения имеет абсциссу 1 (см. пункт б). Выясним, когда абсцисса попадет в промежуток 
пройдет через точку 
если 
если 
Мы рассматриваем только 
из них подходят 
Итак, из отрезка длиной 5 подходят точки отрезка длиной 3, поэтому искомая вероятность 
в) 
г) 0,4.
удовлетворяющими условиям 
и 
тогда из уравнения касательной:
Поскольку производная функции уже найдена, то ясно, что на отрезке 
функция f убывает, а на отрезке 
она возрастает. Найдем 
Построение рассматриваемого отрезка прямой 
очевидно.
— см. пункт б). Поэтому ясно, что площадь фигуры, ограниченной графиком функции f и прямыми 
меньше площади фигуры, ограниченной этими же прямыми и прямой 
а площадь первой фигуры — 
Отсюда ясен ответ.
б) 
в) см. рис.; г) 
касательной к графику функции 
и 
Определите вероятность того, что 
и 
Решим уравнение 
функция может быть записана в виде 
и 
а 
Значит, уравнение касательной в точке 
производная которой 
и положительна при 
поэтому функция возрастает при 
и убывает на промежутке 
нужно исследовать функцию 
), значит, функция убывает при 
и 
и взять все точки, которые окажутся между ними. Мы уже знаем, что 
пересекает линию 
и ее график представляет собой части графиков двух кубических многочленов. Для построения графиков осталось только исследовать их выпуклость
и отрицательно при 
и при 
то есть к той же площади, к которой добавлена площадь прямоугольного треугольника с вершинами 
— она составляет 
б) на 
функция убывает; на 
— возрастает; г) 