Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

3Б. Дана функ­ция  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =12 минус 48x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 36x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка .

а)  На­пи­ши­те урав­не­ние ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка в его точке с абс­цис­сой  x_0=2.

б)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 3x минус 9.

в)  По­строй­те мно­же­ство точек с ко­ор­ди­на­та­ми  левая круг­лая скоб­ка x;y пра­вая круг­лая скоб­ка , удо­вле­тво­ря­ю­щи­ми усло­ви­ям  си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка 3x минус 9 мень­ше или равно y мень­ше или равно f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка ,  новая стро­ка 1 мень­ше или равно x мень­ше или равно 2. конец си­сте­мы .

г)  Срав­ни­те  при­над­ле­жит t пре­де­лы: от 2 до 3, f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка dx и  минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Возьмём про­из­вод­ную:

f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 48, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 72, зна­ме­на­тель: x в кубе конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 24, зна­ме­на­тель: x в кубе конец дроби левая круг­лая скоб­ка 2x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Также f левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 3, f' левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =3, тогда из урав­не­ния ка­са­тель­ной:

y=3 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =3x минус 9.

б)  По­лу­чим и решим не­ра­вен­ство:

 дробь: чис­ли­тель: 12 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 4x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби боль­ше 3 левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: 12 левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 3x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби боль­ше 0,x не равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но

 

 си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 12x минус 12 минус 3x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби боль­ше 0,x не равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби мень­ше 0,x не равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но

 

 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x мень­ше 3,x не равно 0,x не равно 2. конец си­сте­мы .

в)  Ис­сле­ду­ем по­ве­де­ние функ­ции f на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка 1; 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . По­сколь­ку про­из­вод­ная функ­ции уже най­де­на, то ясно, что на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка 1; дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка функ­ция f убы­ва­ет, а на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка она воз­рас­та­ет. Най­дем f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: левая квад­рат­ная скоб­ка конец дроби 2} пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 4. По­стро­е­ние рас­смат­ри­ва­е­мо­го от­рез­ка пря­мой y=3x минус 9 оче­вид­но.

г)  За­ме­тим, что пря­мая y=3x минус 9 лежит ниже гра­фи­ка функ­ции f на ин­тер­ва­ле  левая круг­лая скоб­ка 2; 3 пра­вая круг­лая скоб­ка  — см. пункт б). По­это­му ясно, что пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной гра­фи­ком функ­ции f и пря­мы­ми y=0, x=2, x=3, мень­ше пло­ща­ди фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной этими же пря­мы­ми и пря­мой y=3x минус 9 (см. рис). Но пло­щадь вто­рой фи­гу­ры оче­вид­но равна  дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , а пло­щадь пер­вой фи­гу­ры  —  при­над­ле­жит t пре­де­лы: от 2 до 3, f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка dx. От­сю­да ясен ответ.

 

Ответ:3Б. а)  y=3x минус 9; б)  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ;0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 0;2 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 2;3 пра­вая круг­лая скоб­ка ; в) см. рис.; г)  минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше при­над­ле­жит t пре­де­лы: от 2 до 3, f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка dx.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1865

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 1999 год, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей , Ис­сле­до­ва­ние функ­ций, Ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции, По­ка­за­тель­ные не­ра­вен­ства
?
Сложность: 9 из 10