3Б. Дана функция 
а) Выясните, является ли прямая, задаваемая уравнением 
касательной к графику функции 
б) Исследуйте функцию 
на монотонность.
в) Постройте множество точек 
удовлетворяющих условиям 
и 
г) Наудачу выбирают пару чисел 
таких, что 
Определите вероятность того, что 
а) Найдем сначала точки пересечения графиков 
и 
Решим уравнение
Заметим, что при 
функция может быть записана в виде
и 
а 
Значит, уравнение касательной в точке 
имеет вид 
б) При нужно исследовать функцию 
производная которой
и положительна при 
поэтому функция возрастает при 
и убывает на промежутке 
Аналогично при 
нужно исследовать функцию
), значит, функция убывает при 
Ответ: функция возрастает при и убывает на промежутке 
в) Нужно построить графики 
и при 
и взять все точки, которые окажутся между ними. Мы уже знаем, что 
убывает на всем промежутке 
пересекает линию при и 
и ее график представляет собой части графиков двух кубических многочленов. Для построения графиков осталось только исследовать их выпуклость
и отрицательно при 
Значит функция выпукла вниз при и выпукла вверх при 
и при
Примерный график изображен на рисунке.
г) Исходя из геометрического определения вероятности, нужно найти отношение площади заштрихованной фигуры. На прошлом рисунке к площади, лежащей над графиком функции 
то есть к той же площади, к которой добавлена площадь прямоугольного треугольника с вершинами 
— она составляет 
Теперь вычислим площадь заштрихованной фигуры:
Поэтому искомая вероятность равна 
Ответ: а) да, в точке 
б) на 
функция убывает; на 
— возрастает; г) 
Задание парного варианта: 1885