7. Числа, числовые последовательности
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
5. Последовательность 
задана рекуррентно: 
при всех 
а) Докажите, что если a — целое, то xn — нечетное число при всех 
б) Выясните, при каком значении a последовательность является стационарной.
в) Выясните, при каких значениях a последовательность является геометрической прогрессией.
г) Пусть 
Докажите, что последовательность не имеет предела.
то если xn — целое, то 
—
—
тогда 
и 
если 
значит, 
—
при 
то есть в таком случае 
и 
откуда и будет следовать, что конечного предела у последовательности 
то
3. Последовательность задана формулой 
а 
а) Докажите, что если 
то данная последовательность монотонна.
б) Докажите, что если 
то при всех натуральных n верно неравенство 
в) Докажите, что если последовательность сходящаяся, то она стремится к нулю.
г) Докажите, что если число c рационально, то эта последовательность не имеет конечного предела.
то 
и 
следовательно, 
Нетрудно доказать по индукции, что 
Неравенство 
имеет вид 
или 
что верно.
то 
далее, 
Если неравенство 
верно, то 
значит, 
при всех натуральных n. Наконец, 
поэтому, если 
то 
значит, 
тогда 
xq — целое и, более того, все члены xn, где 
также являются целыми. Так как 
то 
при всех 5. Числа 
где n, k — целые неотрицательные, определены равенствами
и
при 
а) Докажите, что 
б) Найдите отношение 
в) Докажите, что для любых натуральных чисел p и n верно тождество
г) Докажите, что 
совпадает с числом таких перестановок 
чисел 
для которых неравенство 
выполняется ровно для k значений 
в силу соотношения симметрии предыдущего пункта, отсюда ответ — 12.
Действительно, 
перестановок указанного вида выполняются те же соотношения, которыми определялись числа Эйлера, поэтому 
верно неравенство 
то 
то есть имеется одна такая перестановка, поэтому 
—
Предположим, что 
получающуюся из исходной вычеркиванием элемента al, так что 
при 
и 
при 
Ясно, что число инверсий в полученной таким образом перестановке 
равно 
Следовательно, для некоторых 
Поэтому исходная перестановка 
может иметь k инверсий, 
-перестановку
инверсией, равно 
Рассуждая аналогично, получаем, что число n-перестановок с k инверсиями, получающихся из 
таким образом, 
3. Дана последовательность 
где
а) Докажите, что при всех 
выполнены неравенства 
б) Докажите, что последовательность 
убывает, и вычислите предел 
в) Пусть 
Докажите, что все числа an, 
иррациональные.
г) Пусть 
Докажите, что 
есть длина хорды единичной окружности, опирающейся на дугу вдвое меньшей длины, чем та, на которую опирается хорда длиной an. Из этого наблюдения сразу виден смысл утверждения пункта г)!
то 
более того, 
то 
но 
то 
нетрудно доказать по индукции, что 
значит, 
3А. Последовательность 
задана соотношениями 
а) Найдите все c, при которых 
б) Докажите, что если 
то эта последовательность монотонна.
в) Найдите все непостоянные конечные арифметические прогрессии, образованные последовательными членами указанной последовательности.
г) Докажите, что существуют последовательности данного вида, имеющие сколь угодно большой период.
то искомые значения c — решения неравенства 
то 
Для точного рассуждения можно воспользоваться методом математической индукции. Причем удобнее доказывать, что 
По предположению 
Индукционный переход: из проведенного выше преобразования следует, что если 
Поэтому все члены последовательности больше единицы, значит, 
являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии, если 
и 
получим, что 
откуда 
Тем самым 
Так как при найденных значениях 
имеем 
то числа 
не будут последовательными членами никакой арифметической прогрессии. 
то 
причем 
при 
Следовательно, данная последовательность имеет число n (произвольное!) своим периодом.
или 
в) наибольшее число последовательных членов данной последовательности, которые могут образовывать конечную арифметическую прогрессию, равно трем, а первый из них должен быть 
Пройти тестирование по этим заданиям