3В. По­ло­жим

а)  До­ка­жи­те, что мно­го­член p_n имеет ве­ще­ствен­ные корни тогда и толь­ко тогда, когда число n не­чет­но.

б)  Пусть   — ком­плекс­ные корни мно­го­чле­на p_n. До­ка­жи­те, что

в)  Най­ди­те все n, при ко­то­рых мно­го­член p_n де­лит­ся на

г)  До­ка­жи­те, что

Даны мно­го­чле­ны и

а)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное число дей­стви­тель­ных кор­ней урав­не­ния

б)  Пусть и Ре­ши­те урав­не­ние

в)  Пусть и Най­ди­те все целые a, d, при ко­то­рых число де­лит­ся на при всех

г)  Пусть Най­ди­те все целые a, b, c при ко­то­рых раз­ность де­лит­ся на при всех

Пусть   — мно­го­член сте­пе­ни n.

а)  Из­вест­но, что числа 3 и 7 яв­ля­ют­ся кор­ня­ми мно­го­чле­на и что Най­ди­те

б)  Из­вест­но, что числа 1 и 2 яв­ля­ют­ся кор­ня­ми мно­го­чле­на Пусть и при­чем До­ка­жи­те, что число, де­ля­щее от­ре­зок в от­но­ше­нии яв­ля­ет­ся тре­тьим кор­нем этого мно­го­чле­на.

в)  Пусть Най­ди­те все a, при ко­то­рых мно­го­член имеет ровно два дей­стви­тель­ных корня.

г)  Пусть Най­ди­те все при ко­то­рых урав­не­ние имеет 1000 раз­лич­ных дей­стви­тель­ных кор­ней.

Пусть где ко­эф­фи­ци­ен­ты ве­ще­ствен­ны и среди них один яв­ля­ет­ся от­ри­ца­тель­ным, все осталь­ные  — по­ло­жи­тель­ны. Будем далее пред­по­ла­гать, что по­ло­жи­тель­ные корни мно­го­чле­на яв­ля­ют­ся про­сты­ми (дру­ги­ми сло­ва­ми, не крат­ны­ми).

а)  Может ли мно­го­член иметь более двух по­ло­жи­тель­ных кор­ней?

б)  Верно ли, что мно­го­член имеет един­ствен­ный по­ло­жи­тель­ный ко­рень тогда и толь­ко тогда, когда

в)  Пусть c  — по­ло­жи­тель­ный ко­рень мно­го­чле­на До­ка­жи­те, что ко­эф­фи­ци­ен­ты мно­го­чле­на от­ри­ца­тель­ны.

г)  Пусть До­ка­жи­те, что мно­го­член либо имеет ровно два по­ло­жи­тель­ных корня, либо не имеет их во­об­ще.