Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2107

Даны многочлены p левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в степени левая круглая скобка 1998 правая круглая скобка плюс b и q левая круглая скобка x правая круглая скобка =cx в степени левая круглая скобка 1917 правая круглая скобка плюс d, a не равно 0.

а)  Найдите наибольшее возможное число действительных корней уравнения p левая круглая скобка x правая круглая скобка =q левая круглая скобка x правая круглая скобка .

б)  Пусть a=71, b=3, c=74 и d=0. Решите уравнение p левая круглая скобка x правая круглая скобка =q левая круглая скобка x правая круглая скобка .

в)  Пусть b=0 и c=1. Найдите все целые a, d, при которых число p левая круглая скобка n правая круглая скобка делится на q левая круглая скобка n правая круглая скобка при всех n принадлежит \Bbb N.

г)  Пусть d=0. Найдите все целые a, b, c при которых разность p левая круглая скобка n правая круглая скобка минус q левая круглая скобка n правая круглая скобка делится на  левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка в квадрате при всех n принадлежит \Bbb N.

Спрятать решение

Решение.

а)  Нетрудно видеть, что функция

f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в степени левая круглая скобка 1998 правая круглая скобка минус cx в степени левая круглая скобка 1917 правая круглая скобка плюс b

имеет не более одной точки, в которой меняется характер ее монотонности.

б)  Если f левая круглая скобка x правая круглая скобка =71x в степени левая круглая скобка 1998 правая круглая скобка минус 74x в степени левая круглая скобка 1917 правая круглая скобка плюс 3, то

f' левая круглая скобка x правая круглая скобка =71 умножить на 74 умножить на 27 левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка 1997 правая круглая скобка минус x в степени левая круглая скобка 1916 правая круглая скобка правая круглая скобка ,

поэтому x=1  — точка минимума функции f, а f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =0.

в)  Возьмем простое число n больше d. По условию n в степени левая круглая скобка 1998 правая круглая скобка должно делиться на n в степени левая круглая скобка 1917 правая круглая скобка плюс d, таким образом, число n в степени левая круглая скобка 1917 правая круглая скобка плюс d должно иметь n своим делителем, чего быть не может. Второе решение. Пусть

an в степени левая круглая скобка 1998 правая круглая скобка =s левая круглая скобка n правая круглая скобка левая круглая скобка n в степени левая круглая скобка 1917 правая круглая скобка плюс d правая круглая скобка ,

где s левая круглая скобка n правая круглая скобка   — целое. Ясно, что s левая круглая скобка n правая круглая скобка меньше или равно Mn в степени левая круглая скобка 81 правая круглая скобка . Перейдем теперь к пределу при n\to бесконечность в равенстве

an в степени левая круглая скобка 81 правая круглая скобка минус s левая круглая скобка n правая круглая скобка =ds левая круглая скобка n правая круглая скобка n в степени левая круглая скобка минус 1917 правая круглая скобка .

Число, стоящее в его левой части  — целое, между тем его правая часть стремится к нулю. Значит, d=0.

г)  Ясно, что достаточно потребовать, чтобы многочлен p левая круглая скобка x правая круглая скобка минус q левая круглая скобка x правая круглая скобка делился на  левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате , таким образом, x минус 1 должно быть корнем кратности, не меньшей двух многочлена p левая круглая скобка x правая круглая скобка минус q левая круглая скобка x правая круглая скобка . Для этого необходимо и достаточно, чтобы p левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =q левая круглая скобка 1 правая круглая скобка и p' левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =q' левая круглая скобка 1 правая круглая скобка . Получаем, что d=1998a минус 1917c и 1998a=1917c, откуда и следует ответ. Однако, то, что условие делимости на  левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате является также и необходимым, не столь уж очевидно. Пусть p левая круглая скобка x правая круглая скобка ,q левая круглая скобка x правая круглая скобка   — многочлены с целыми коэффициентами, про которые известно, что число p левая круглая скобка n правая круглая скобка делится на q левая круглая скобка n правая круглая скобка для любого натурального n. Тогда многочлен p левая круглая скобка x правая круглая скобка делится на q левая круглая скобка x правая круглая скобка над \Bbb Q (т. е. их частное является многочленом с рациональными коэффициентами).

 

Ответ: а) два корня; б) 1; в) a принадлежит \Bbb Z и d=0; г)  левая круглая скобка a,b,c правая круглая скобка = левая круглая скобка 71k,3k,74k правая круглая скобка , при k принадлежит \Bbb Z.

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1998 год, вариант 1
? Классификатор: Задачи о многочленах
?
Сложность: 11 из 10