Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2119

Пусть p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка   — многочлен степени n.

а)  Известно, что числа 3 и 7 являются корнями многочлена p_2 левая круглая скобка x правая круглая скобка и что p_2' левая круглая скобка 3 правая круглая скобка =11. Найдите p_2' левая круглая скобка 7 правая круглая скобка .

б)  Известно, что числа 1 и 2 являются корнями многочлена p_3 левая круглая скобка x правая круглая скобка . Пусть p_3' левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =k и p_3' левая круглая скобка 2 правая круглая скобка =l, причем kl больше 0. Докажите, что число, делящее отрезок  левая квадратная скобка 1;2 правая квадратная скобка в отношении k:l, является третьим корнем этого многочлена.

в)  Пусть p_3 левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в кубе минус 3x в квадрате минус 1. Найдите все a, при которых многочлен p_3 левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс ax имеет ровно два действительных корня.

г)  Пусть p_1000 левая круглая скобка x правая круглая скобка =x левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка ... левая круглая скобка x минус 1998 правая круглая скобка . Найдите все a больше или равно 0, при которых уравнение p_1000 левая круглая скобка x правая круглая скобка =a имеет 1000 различных действительных корней.

Спрятать решение

Решение.

а)  Если p_2 левая круглая скобка x правая круглая скобка =a левая круглая скобка x минус x_1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус x_2 правая круглая скобка , тогда

p_2' левая круглая скобка x правая круглая скобка =2ax минус a левая круглая скобка x_1 плюс x_2 правая круглая скобка и p_2' левая круглая скобка x_2 правая круглая скобка =2ax_2 минус a левая круглая скобка x_1 плюс x_2 правая круглая скобка =a левая круглая скобка x_2 минус x_1 правая круглая скобка = минус p_2' левая круглая скобка x_1 правая круглая скобка .

б)  Представим многочлен p_3 левая круглая скобка x правая круглая скобка в виде p_3 левая круглая скобка x правая круглая скобка =q левая круглая скобка x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус t правая круглая скобка , где q левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =q левая круглая скобка 2 правая круглая скобка =0, а t  — некое число. Теперь запишем:

p_3' левая круглая скобка x правая круглая скобка =q' левая круглая скобка x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус t правая круглая скобка плюс q левая круглая скобка x правая круглая скобка равносильно p_3' левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =q' левая круглая скобка 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус t правая круглая скобка и p_3' левая круглая скобка 2 правая круглая скобка =q' левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус t правая круглая скобка .

Тогда

 дробь: числитель: p_3' левая круглая скобка 1 правая круглая скобка , знаменатель: p_3' левая круглая скобка 2 правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: k, знаменатель: l конец дроби = дробь: числитель: q' левая круглая скобка 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус t правая круглая скобка , знаменатель: q' левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус t правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: t минус 1, знаменатель: 2 минус t конец дроби .

Полученное и означает, что число t лежит в отрезке  левая квадратная скобка 1;2 правая квадратная скобка и делит его в отношении k:l.

в)  Так как x=0 не является корнем уравнения x в кубе минус 3x в квадрате плюс ax минус 1=0, то его можно записать в виде  дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби плюс 3x минус x в квадрате =a. Исследуем функцию f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби плюс 3x минус x в квадрате и построим эскиз её графика. Поскольку

 f' левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби x в квадрате плюс 3 минус 2x= минус дробь: числитель: 2x в кубе минус 3x в квадрате плюс 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби = минус дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: x в квадрате конец дроби ,

то эта функция убывает на промежутках  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 0 правая круглая скобка и  левая круглая скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка , возрастает на  левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка . Также f левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 4 конец дроби . Теперь ответ очевиден.

г)  Для решения этой задачи также достаточно представить себе эскиз графика функции y=p_1000x. Заметим, что на интервалах  левая круглая скобка 4k минус 2; 4k правая круглая скобка эта функция принимает положительные значения, а на интервалах  левая круглая скобка 4k; 4k плюс 2 правая круглая скобка  — отрицательные  левая круглая скобка k=1, 2, ...,499 правая круглая скобка . Ясно, что уравнение p_1000=a имеет ровно два решения на отрезке  левая квадратная скобка 4k минус 2; 4k правая квадратная скобка , если 0 меньше или равно a меньше M_k, где Mk — наибольшее значение этой функции на этом отрезке (наличие двух корней следует из непрерывности, больше же двух корней быть не может, ибо в противном случае на отрезке оказалось бы более одной точки, в которой производная функции p_1000 обращается в нуль, что невозможно, ибо уравнение p'_1000 левая круглая скобка x правая круглая скобка =0 не может иметь более 999 решений). На каждом из лучей  левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая квадратная скобка и  левая квадратная скобка 1998; плюс бесконечность правая круглая скобка уравнение p_1000=a при неотрицательных a имеет ровно одно решение. Поэтому это уравнение имеет требуемое число решений при 0 меньше или равно a меньше M, где M — наименьшее из чисел M_k.

Теперь заметим, что наибольшее значение многочлена p_1000 левая круглая скобка x правая круглая скобка на отрезке  левая квадратная скобка 998; 1000 правая квадратная скобка равно p_1000 левая круглая скобка 999 правая круглая скобка = левая круглая скобка 3 умножить на 5 умножить на 7 умножить на \ldots. умножить на 999 правая круглая скобка в квадрате . В самом деле, сделаем замену t=x минус 999, получим, что наибольшее значение функции p_1000 на отрезке  левая квадратная скобка 998; 1000 правая квадратная скобка равно наибольшему значению функции q левая круглая скобка t правая круглая скобка = левая круглая скобка 1 минус t в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 9 минус t в квадрате правая круглая скобка \ldots левая круглая скобка 999 в квадрате минус t в квадрате правая круглая скобка на отрезке  левая квадратная скобка минус 1; 1 правая квадратная скобка . Но на отрезке  левая квадратная скобка минус 1; 0 правая квадратная скобка эта функция, очевидно, возрастает, а на отрезке  левая квадратная скобка 0; 1 правая квадратная скобка убывает,

q левая круглая скобка 0 правая круглая скобка = левая круглая скобка 3 умножить на 5 умножить на 7 умножить на \ldots умножить на 999 правая круглая скобка в квадрате =p_1000 левая круглая скобка 999 правая круглая скобка .

Остается заметить, что наибольшие значения многочлена p_1000 левая круглая скобка x правая круглая скобка на каждом из отрезков вида  левая квадратная скобка 4k минус 2; 4k правая квадратная скобка , больше числа p_1000 левая круглая скобка 999 правая круглая скобка . Для этого достаточно убедиться в том, что число p_1000 левая круглая скобка 4k минус 1 правая круглая скобка больше p_1000 левая круглая скобка 999 правая круглая скобка , где k не равно 250. Но это очевидно  — ограничимся случаем k больше 250, тогда:

p_1000 левая круглая скобка 4k минус 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка 4k минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 4k минус 3 правая круглая скобка умножить на \ldots умножить на 999 умножить на 997 умножить на \ldots умножить на 3 умножить на 1 умножить на 3 умножить на \ldots умножить на левая круглая скобка 1999 минус 4k правая круглая скобка =
= левая круглая скобка 4k минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 4k минус 3 правая круглая скобка умножить на \ldots умножить на 999 умножить на 997 умножить на \ldots умножить на 3 умножить на 1 умножить на 3 умножить на \ldots умножить на 999 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: левая круглая скобка 2001 минус 4k правая круглая скобка левая круглая скобка 2003 минус 4k правая круглая скобка умножить на \ldots умножить на 999 конец дроби =
=p_1000 левая круглая скобка 999 правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: левая круглая скобка 4k минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 4k минус 3 правая круглая скобка умножить на \ldots умножить на 1001, знаменатель: левая круглая скобка 2001 минус 4k правая круглая скобка левая круглая скобка 2003 минус 4k правая круглая скобка умножить на \ldots умножить на 999 конец дроби больше p_1000 левая круглая скобка 999 правая круглая скобка

(так как число сомножителей в числителе равно числу сомножителей в знаменателе, но каждый из сомножителей числителя больше сомножителей знаменателя).

 

Ответ: а) −11; в)  минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 4 конец дроби ; г) a меньше левая круглая скобка 3 умножить на 5 умножить на 7 умножить на \ldots умножить на 999 правая круглая скобка в квадрате .

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1999 год, вариант 1
? Классификатор: Задачи о многочленах
?
Сложность: 11 из 10