Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2139

Пусть p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в степени n плюс a_1x в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс \ldots плюс a_n, где n\geqslant2, коэффициенты a_1, a_2, \ldots, a_n вещественны и среди них один является отрицательным, все остальные  — положительны. Будем далее предполагать, что положительные корни многочлена p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка являются простыми (другими словами, не кратными).

а)  Может ли многочлен p_3 левая круглая скобка x правая круглая скобка иметь более двух положительных корней?

б)  Верно ли, что многочлен p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка имеет единственный положительный корень тогда и только тогда, когда a_n меньше 0?

в)  Пусть a_1 меньше 0, c  — положительный корень многочлена p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка . Докажите, что коэффициенты b_1,b_2,\ldots,b_n минус 1 многочлена  дробь: числитель: p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка , знаменатель: x минус c конец дроби отрицательны.

г)  Пусть a_1 меньше 0. Докажите, что многочлен p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка либо имеет ровно два положительных корня, либо не имеет их вообще.

Спрятать решение

Решение.

а)  Если многочлен p3(x) имеет три положительных корня, то его коэффициенты a1 и a3 отрицательны.

б)  Пусть an < 0, тем самым pn(0) < 0. Поскольку все остальные коэффициенты многочлена положительны, то функция pn(x) строго возрастает на луче  левая квадратная скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка , причём p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка arrow плюс бесконечность при xarrow плюс бесконечность , поэтому уравнение pn(x) = 0 имеет один положительный корень. Если же an > 0, то число положительных корней многочлена pn(x) чётно, так как по предположению все они  — простые.

в)  Положим

q_n минус 1 левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка , знаменатель: x минус c конец дроби =x в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс b_1x в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка плюс \ldots плюс b_n минус 1.

Имеем:

x в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс a_1x в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс \ldots плюс a_n= левая круглая скобка x минус c правая круглая скобка левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс b_1x в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка плюс \ldots плюс b_n минус 1 правая круглая скобка ,

откуда a_i=b_i минус cb_i минус 1 при i ⩽ n − 1, a_n= минус cb_n минус 1. Из последнего равенства следует, что b_n минус 1 меньше 0. Далее рассуждаем по индукции. Если bi < 0, то cb_i минус 1=b_i минус a_i меньше 0.

г)  Предположим, что многочлен pn имеет хотя бы один положительный корень. Поделив pn на соответствующее линейное выражение, получим многочлен, все коэффициенты которого (разумеется, кроме коэффициента при xn − 1) отрицательны. Поэтому полученный многочлен имеет ещё хотя бы один положительный корень c. Поделив на x − c, получим многочлен, все коэффициенты которого положительны (рассуждение полностью аналогично проведённому в предыдущем пункте), который, тем самым, положительных корней не имеет.

 

Ответ: а) нет, не может; б) да, верно.


Задание парного варианта: 1744

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 2001 год, вариант 1
? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей , Касательная к графику функции
?
Сложность: 11 из 10