Пусть 
где 
коэффициенты 
вещественны и среди них один является отрицательным, все остальные — положительны. Будем далее предполагать, что положительные корни многочлена 
являются простыми (другими словами, не кратными).
а) Может ли многочлен 
иметь более двух положительных корней?
б) Верно ли, что многочлен имеет единственный положительный корень тогда и только тогда, когда 
в) Пусть 
c — положительный корень многочлена 
Докажите, что коэффициенты 
многочлена 
отрицательны.
г) Пусть 
Докажите, что многочлен либо имеет ровно два положительных корня, либо не имеет их вообще.
а) Если многочлен p3(x) имеет три положительных корня, то его коэффициенты a1 и a3 отрицательны.
б) Пусть an < 0, тем самым pn(0) < 0. Поскольку все остальные коэффициенты многочлена положительны, то функция pn(x) строго возрастает на луче 
причём 
при 
поэтому уравнение pn(x) = 0 имеет один положительный корень. Если же an > 0, то число положительных корней многочлена pn(x) чётно, так как по предположению все они — простые.
в) Положим
Имеем:
откуда 
при i ⩽ n − 1, 
Из последнего равенства следует, что 
Далее рассуждаем по индукции. Если bi < 0, то 
г) Предположим, что многочлен pn имеет хотя бы один положительный корень. Поделив pn на соответствующее линейное выражение, получим многочлен, все коэффициенты которого (разумеется, кроме коэффициента при xn − 1) отрицательны. Поэтому полученный многочлен имеет ещё хотя бы один положительный корень c. Поделив на x − c, получим многочлен, все коэффициенты которого положительны (рассуждение полностью аналогично проведённому в предыдущем пункте), который, тем самым, положительных корней не имеет.
Ответ:
Задание парного варианта: 1744